![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta co :a + b+c=0
=>(a+b+c)^3= 0
<=> a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b+3a^2c + 3b^2a+3b^2c + 3c^2a+3c^2b + 6abc =0
<=>(a^3+b^3+c^3) + (3a^2b+3a^2c+3abc ) +(3b^2a+3b^c +3abc) +(3c^2a+3c^b +3abc ) - 3abc=0
<=>(a^3+b^3+c^3) + 3a(ab+ac+bc) + 3b(ab+bc+ac) + 3c(ac+bc+ab) - 3abc=0
<=>(a^3+b^3+c^3) +3(ab+bc+ac)(a+b+c) -3abc=0
<=>(a^3+b^3+c^3) +3(ab+bc+ac).0 - 3abc =0
<=> a^3+b^3+c^3 -3abc=0
=>a^3+b^3+c^3 =3abc (dpcm)
Ta co
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
=\(\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
=\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
=\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]\)
Ma a+b+c=3
=>\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
=>\(a^3+b^3+c^3=3abc\)(\(ĐPCM\))
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có a3 + b3 + c3 = 3abc
<=> (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 = 3abc
<=> (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab) = 0
<=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(\text{tmđk}\right)\\a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\end{cases}}\)
Khi a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
<=> (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (a2 - 2ac + c2) = 0
<=> (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0
<=> \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\left(\text{loại}\right)\)
Vậy a + b + c = 0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có: (a + b + c + d)(a - b - c +d )=( (a + d) + (b + c) )( (a + d) - (b + c) )
=(a + d )2 - (b +c )2 (1)
(a - b + c - d)(a + b - c - d)=(a - d)2 - (b - c)2 (2)
Từ (1) và (2) => a2 + 2ad + d2 - b2 - 2bc - c2=a2 - 2ad + d2 - b2 + 2bc - c2
4ad=4bc => ad=bc <=> \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\) (đpcm)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}-1+\frac{a+b+c}{c+a}-1+\frac{a+b+c}{a+b}-1\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Áp dụng bđt Co-si cho 3 số
\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\\\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\end{cases}}\)
Nhân 2 vế vào sẽ đc dpcm
Dấu "=" khi a = b = c
Anh Incursion:Em có cách khác!Anh check giúp ạ.
Chuẩn hóa a + b + c = 3.Thì BĐT trở thành:
\(\frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\ge\frac{3}{2}\)
Ta sẽ c/m: \(\frac{a}{3-a}\ge\frac{3}{4}\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\).
Thật vậy,xét hiệu hai vế: \(VT-VP=\frac{3\left(a-1\right)^2}{4\left(3-a\right)}\).Do a + b + c = 3 và a,b,c > 0 hiển nhiên ta có: a< 3 tức là 3 - a > 0
Suy ra \(VT-VP=\frac{3\left(a-1\right)^2}{4\left(3-a\right)}\ge0\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c