Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le1\)
Ta có:
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}=\dfrac{a}{a+\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}\le\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
\(\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Cộng vế:
\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng Cô si cho 2 số dương ta đc:
\(2\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le4a+\left(3a+b\right)=7a+b\)
Tương tự: \(2\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le4b+\left(3b+a\right)=7b+a\)
\(\Rightarrow2\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+2\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le8\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\le2\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4a=3a+b\\4b=3b+a\\a,b>0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b>0\)
Giải HPT:
\(\hept{\begin{cases}x+y-z=c\\y+z-x=a\\z+x-y=b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2y=c+a\\2z=a+b\\2x=b+c\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}y=\frac{c+a}{2}\\x=\frac{a+b}{2}\\x=\frac{b+c}{2}\end{cases}}\)
1 ) Áp dụng BĐT Cauchy :
\(2\sqrt{a\left(3a+b\right)}=\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{4a+3a+b}{2}\)
Tương tự \(2\sqrt{b\left(3b+a\right)}\le\frac{4b+3b+a}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\right)\le\frac{8a+8b}{2}=4\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\le2\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b>0\)
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.
Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath