![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ghi chú: Này, mình mới lớp 6, nên giải chưa biết chắc là đúng hay sai nên lỡ có sai thì bạn đừng trách mình nhé!
Đặt \(A=\frac{x}{y\left(z+1\right)}+\frac{y}{z\left(x+1\right)}+\frac{z}{x\left(y+1\right)}\le\frac{9}{4}\)(Sửa đề)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)với a,b dương và x + y + z = 1,ta có:
\(\frac{4}{y\left(z+1\right)}=\frac{4}{y\left(z+x+y+z\right)}=\frac{4}{y\left(\left(z+x\right)+\left(z+y\right)\right)}\le\frac{4}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\)
Nhân hai vế với số dương xy, ta được:
\(\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)\). Do đó:
\(4A=\frac{4xy}{y\left(z+1\right)}+\frac{4yz}{z\left(x+1\right)}+\frac{4zx}{x\left(y+1\right)}\)
\(\le\frac{4xy}{y}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+\frac{4yz}{z}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{4zx}{x}\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(=4x\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{z+y}\right)+4y\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+4z\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(=\frac{4x}{z+x}+\frac{4x}{z+y}+\frac{4y}{x+y}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{y+z}+\frac{4z}{y+z}\)
\(\Rightarrow4A\le\frac{4x+4y}{z+x}+\frac{4y+4z}{z+y}+\frac{4z+4x}{x+y}=x+y+z=9\)
Do : \(4A\le9\)nên \(A< \frac{9}{4}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(x+y+z\right)^3\ge\left(3\sqrt[3]{xyz}\right)^3=27xyz\) ( Cosi )
3 cách :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\) ( Cosi 2 lần )
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( Cosi 2 tích )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\) ( Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Chúc bạn học tốt ~
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
BĐT cần chứng minh tương đương với : \(\frac{\left(x+z\right)^2}{xz}\ge\frac{y\left(x+z\right)}{xz}+\frac{x+z}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{xz}\ge\frac{y}{xz}+\frac{1}{y}\Leftrightarrow y\left(x+z\right)\ge y^2+xz\)
\(\Leftrightarrow y^2-y\left(x+z\right)+xz\le0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y-z\right)\le0\) ( luôn đúng vì \(z\ge y\ge x>0\))
Vậy BĐT đã được chứng minh khi x = y = z
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}+\frac{1^2}{t}\ge\frac{16}{x+y+z+t}\)
\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=t\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
cách khác :3
Áp dụng bđt phụ : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}.\left(a+b\right).ab\ge\frac{4}{a+b}.\left(a+b\right).ab\)
\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge\)(luôn đúng)
Nên ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
Cho x,y,z >0 và x+y+z=3.Chứng minh \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
đặt A=\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}\) +\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}\) +\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)=\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{x+1}\)+\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{y+1}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{z+1}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) (bạn tự chứng minh nha,quy đồng ,nhân chéo ,chuyển về )⇒\(\frac{1}{a+b}\) ≤\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))
⇒A≥\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)+3)
⇒A≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))-\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{9}{x+y+z}\))-\(\frac{3}{4}\)
⇒a≥\(\frac{9}{4}\)-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) dpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
ad bunhiacoxki
Tui mới lớp 6!