Question

[đôi mắt]

chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên típ bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11

help me

Answer 1

[võ hoàng nguyên]

Lấy 20 số đầu tiên của dãy, ta luôn được 2 số mà có chữ số hàng đơn vị là 0 và trong 2 số này có ít nhất 1 số có chữ số hàng chục khác 9.

Giả sử số đó là nn và tổng các chữ số của số đó là ss. Khi đó n,n+1,n+2...n+9,n+19n,n+1,n+2...n+9,n+19 là 11 số nằm trong 39 số đã cho mà tổng các chữ số của này lần lượt là s,s+1,.....,s+9,s+10s,s+1,.....,s+9,s+10. Đó là 11 số tự nhiên liên tiếp nên theo nguyên lí dirchlet thì có 1 số chia hết cho 11. Nếu số đó là s+is+i với 0≤i≤90≤i≤9 thì số đó thỏa mãn.

Nếu số đó là s+10s+10 thì số n+11n+11 thỏa mãn. Đieuf phải chứng minh.

Answer 2

[Khánh Vy]

giả sử 39 số tự nhiên liên tiếp đó là a₁ < a₂ < .............. < a₃₉

Trong 20 số hạng đầu tiên của dãy này sẽ có hai số tận cùng là 0 và có 1 số ( trong 2 số này ) có chữ số đứng trước chữ số tận cùng khác 9 . Gọi số này là N . 

xét các số N + 1 ; N + 2 ,............... , N + 19 thuộc 39 số đã cho . Khi đó :

    S ( N + i ) = S(N ) + 1 với i = 1,2,.........,9 và S( N+ 19 ) = S ( N ) + 10

( ký hiệu S ( a ) là tổng các chữ số của a ) .

trong 11 số tự nhiên liên tiếp S(N) , S(N ) + 1,............S(N ) + 9, S(N ) + 10 Luôn có 1 số chia hết cho 11 , chẳng hạn : 

S( N + m ) \(⋮\)11 , với m thuộc { 1 ; 2 ; ......; 9 ; 19 }

vậy N + m thỏa mãn