Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-xz}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-xz}=\frac{c}{z^2-xy}\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{b^2}{\left(y^2-xz\right)^2}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}\) (1)
=> \(\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}.\frac{a}{\left(x^2-yz\right)}=\frac{b}{y^2-xz}.\frac{c}{z^2-xy}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-xz\right).\left(z^2-xy\right)}\)
a^2/(x^2-yz)^2 = (a^2-bc)/[(x^2-yz)^2 - (y^2-xz)(z^2-xy)] = (a^2-bc)/[x (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz)] =>
(a^2-bc)/x = [a^2/(x^2 - yz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (2)
Thực hiện tương tự ta cũng có
(b^2-ac)/y = [b^2/(y^2 - xz)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (3)
(c^2-ab)/z = [c^2/(z^2 - xy)^2] * (x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz) (4)
Từ (1),(2),(3),(4) => (a^2-bc)/x = (b^2-ac)/y = (c^2-ab)/z.
Ta co : x^2=yz
\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\Rightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{z}{x}\right)^2=\left(\frac{x-z}{y-x}\right)^2\left(1\right)\)
\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}\Rightarrow\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{z}{x}\right)^2\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}=\frac{z^2}{x^2}=\frac{x^2+z^2}{y^2+x^2}\)
Lai co :\(\frac{x}{y}=\frac{z}{x}=\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{z}{x}\right)^2\)
=> \(\frac{z}{y}=\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{z}{x}\right)^2\left(3\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\frac{z}{y}=\frac{x^2+z^2}{y^2+x^2}=\left(\frac{x-z}{y-x}\right)^2\)
\(x;y;z\ne0\). Giả thiết của đề bài:
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{z+x}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{y+z}{yz}=\frac{x+z}{xz}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}.\)
=> x = y = z
Do đó, M = 1.
với x=y=z khác 0 và a,b,c khác nhau là 1 số bất kỳ khác 0 thì (1) thỏa mãn và (2) không thỏa mãn
=> Không thể CM
ta có: \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{x^2-yz}=\frac{b}{y^2-zx}=\frac{c}{z^2-xy}\) (*)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}=\frac{bc}{\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}=\frac{a^2-bc}{\left(x^2-yz\right)^2-\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}\)
\(=\frac{a^2-bc}{x^4-3x^2yz+xy^3+xz^3}=\frac{a^2-bc}{x.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{a^2}{\left(x^2-yz\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
Làm tương tự như trên. ta có:
\(\frac{b^2-ca}{y}=\frac{b^2}{\left(y^2-zx\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
\(\frac{c^2-ab}{z}=\frac{c^2}{\left(z^2-xy\right)^2}.\left(x^3-3xyz+y^3+z^3\right)\)
Từ (*) \(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\left(đpcm\right)\)
Ta có \(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{x+z}\)
=> \(\frac{xyz}{xz+yz}=\frac{xyz}{xy+xz}=\frac{xyz}{xy+yz}\)
=> \(xz+yz=xy+xz=xy+yz\)(vì x ; y ;z \(\ne0\Leftrightarrow xyz\ne0\))
=> \(\hept{\begin{cases}xz+yz=xy+xz\\xy+xz=xy+yz\\xz+yz=xy+yz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}yz=xy\\xz=yz\\xz=xy\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=x\\x=y\\y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
Khi đó M = \(\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\left(\text{vì }x=y=z\right)\)
Giả sử điều mình cần chứng minh là đúng
Ta có \(\frac{-8}{x}=\frac{1}{y}=\frac{10}{z}< =>\frac{x}{-8}=\frac{y}{1}=\frac{z}{10}\)
Đặt \(\frac{x}{-8}=\frac{y}{1}=\frac{z}{10}=m\)
\(=>\left\{\begin{matrix}x=-8m\\y=m\\z=10m\end{matrix}\right.\)
Thế vào điều đề bài cho ta có :
\(\frac{x^2-yz}{2}=\frac{y^2-xz}{3}=\frac{z^2-yx}{4}\)
\(=>\frac{\left(-8m\right)^2-10m^2}{2}=\frac{m^2-\left(-80m^2\right)}{3}=\frac{\left(10m\right)^2-\left(-8m^2\right)}{4}\)
\(=>\frac{64m^2-10m^2}{2}=\frac{m^2+80m^2}{3}=\frac{100m^2+8m^2}{4}\)
\(=>\frac{54m^2}{2}=\frac{81m^2}{3}=\frac{108m^2}{4}\)
\(=>27m^2=27m^2=27m^2\) (Điều phải chứng minh)
Trong toán tuổi thơ có bài này =))))
Do vai trò bình đẳng khi hoán vị vòng quanh các số x,y,z trong bài toán. Nên ta co thể giả sử \(x\ge z,y\ge z\).Ta có: \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)
\(=\frac{x^2-y^2+y^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\)
\(=\left(x^2-y^2\right)\left(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y}\right)\)
\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}+\frac{\left(y^2-z^2\right)\left(x-z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z
Ta có: \(x^2=yz\)
\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}=\frac{yz+y^2}{yz+z^2}=\frac{y\left(y+z\right)}{z\left(y+z\right)}=\frac{y}{z}\)
đpcm
Tham khảo nhé~
Ta có: \(x^2=yz\). Thay x2 bởi yz vào biểu thức,ta có:
\(\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}=\frac{yz+y^2}{yz+z^2}=\frac{y\left(y+z\right)}{z\left(y+z\right)}=\frac{y}{z}^{\left(đpcm\right)}\)
~ Học tốt nha ~