K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 10 2018

Bạn gõ thừa số "1" thì phải ?

Đặt \(\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=m\) (với \(m\in Q\)

\(\Rightarrow x+\sqrt{2017}y=my+mz\sqrt{2017}\)\(\Leftrightarrow\left(x-my\right)-\sqrt{2017}\left(y-mz\right)=0\)(*)

+) Nếu \(y-mz\ne0\) thì: \(\sqrt{2017}=\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\) (1)

Ta có: \(x;y;z\in N;m\in Q\Rightarrow\frac{-\left(x-my\right)}{y-mz}\in Q\)             (2)

\(\sqrt{2017}\in I\) (Do 2017 không phải số chính phương)           (3)

Từ (1); (2) và (3) => Mâu thuẫn => \(y-mz\ne0\)(loại)

+) Nếu \(y-mz=0\) thì: Từ (*) =>   \(\hept{\begin{cases}x-my=0\\y-mz=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=my\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y^2=xz\\x=m^2z\\y=mz\end{cases}}\)

Đặt \(x^2+y^2+z^2=p\) (p nguyên tố) \(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=p\)

\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-y^2=p\)(Do y2 = xz) \(\Leftrightarrow\left(x+z-y\right)\left(x+y+z\right)=p\)

Ta thấy x;y;z thuộc N* => \(x+z-y\le x+y+z\)

Nên \(\hept{\begin{cases}x+z-y=1\left(4\right)\\x+y+z=p\end{cases}}\)(Vì p là số nguyên tố) 

Lại có: \(x^2+y^2+z^2=p\Rightarrow m^4z^2+m^2z^2+z^2=p\) (Do x = m2z; y = mz)

\(\Leftrightarrow z^2\left(m^4+m^2+1\right)=p\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=1\\m^4+m^2+1=p\end{cases}}\)(p nguyên tố)

Thay z=1 vào (4) ta có: \(x-y+1=1\Leftrightarrow x=y\)

\(m^4+m^2+1=p\Leftrightarrow\left(m^2+m+1\right)\left(m^2-m+1\right)=p\)

\(\Rightarrow m^2-m+1=1\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=1\end{cases}}\)

+) Nếu m=0 thì: \(\frac{x+y\sqrt{2017}}{y+z\sqrt{2017}}=0\Rightarrow x+y\sqrt{2017}=0\)(Do \(y+z\sqrt{2017}\ne0\))

Mà x;y thuộc N* nên \(x+y\sqrt{2017}>0\)=> Loại.

+) Nếu m=1 thì \(x+y\sqrt{2017}=y+z\sqrt{2017}\Rightarrow y\sqrt{2017}=z\sqrt{2017}\)(x=y)

\(\Rightarrow y=z\Rightarrow x=y=z=1\) (Vì z=1) 

Khi đó: \(\hept{\begin{cases}\frac{x+\sqrt{2017}y}{y+\sqrt{2017}z}=1\\x^2+y^2+z^2=3\end{cases}}\) (thỏa mãn). Vậy x=y=z=1.

25 tháng 7 2016

giúp mình nhé 

18 tháng 6 2019

Vì là số hữu tỉ nên \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{a}{b}\left(a;b\inℕ^∗\right)\)

\(\Leftrightarrow bx+by\sqrt{2013}=ay+az\sqrt{2013}\)

\(\Leftrightarrow az\sqrt{2013}-by\sqrt{2013}=bx-ay\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2013}\left(az-by\right)=bx-ay\)

Vì VP là số hữu tỉ nên VT là số hữu tỉ

Mà \(\sqrt{2013}\)là số vô tỉ

Nên \(bx-ay=az-by=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx=ay\\az=by\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\\frac{y}{z}=\frac{a}{b}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow xz=y^2\)

Ta có \(x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Mà \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}}\)(Do \(x-y+z< x+y+z\))

Vì x ; y ; z nguyên dương nên \(x;y;z\ge1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2\ge x\\y^2\ge y\\z^2\ge z\end{cases}}\)

                                                                    \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge x+y+z\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 (thỏa mãn)

18 tháng 6 2019

Theo đề ra ta có: \(\frac{x+y\sqrt{2013}}{y+z\sqrt{2013}}=\frac{m}{n}\left(m,n\in Z;\left(m,n\right)=1\right).\)

\(\Rightarrow nx+ny\sqrt{2013}=my+mz\sqrt{2013}\Leftrightarrow nx-my=\sqrt{2013}\left(mz-ny\right).\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}nx-my=0\\mz-ny=0\end{cases}}\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{m}{n}\Rightarrow xz=y^2\)(vì x,y,n,m đều là các số nguyên )

Khi đó: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+z\right)^2-2xz+y^2=\left(x+z\right)^2-2y^2+y^2=\left(x+z\right)^2-y^2\)

                                      \(=\left(x-y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Dễ thấy  \(x+y+z\)là số nguyên lớn hơn 1 và \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố nên:

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z=1\)

Thử lại ta thấy x=y=z=1 thỏa mãn .

20 tháng 9 2018

Xửa đề:

\(\frac{x-y\sqrt{2015}}{y-z\sqrt{2015}}=\frac{m}{n}\) (vơi m, n thuộc Z)

\(\Leftrightarrow xn-ym=\left(yn-zm\right)\sqrt{2015}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xn-ym=0\\yn-zm=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{m}{n}=\frac{y}{z}\)

\(\Rightarrow xz=y^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=x^2+2xz+z^2-y^2=\left(x+z+y\right)\left(x+z-y\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=1\left(l\right)\\x+z-y=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x+z=y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xz+z^2=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(y-1\right)^2+z^2=2\)

\(\Rightarrow x=y=z=1\)

20 tháng 9 2018

Đề ghi nhầm rồi. Xao không co z vậy

25 tháng 10 2020

Ta có: \(\frac{x-y\sqrt{2021}}{y-z\sqrt{2021}}=\frac{m}{n}\inℚ\left(m,n\inℤ,n\ne0\right)\Rightarrow nx-ny\sqrt{2021}=my-mz\sqrt{2021}\)\(\Rightarrow nx-my=\left(ny-mz\right)\sqrt{2021}\)

Vì x, y, z, m, n là các số nguyên nên \(nx-my\inℤ\)và \(ny-mz\inℤ\)

Khi đó: \(nx-my=0\)và \(ny-mz=0\)suy ra \(\frac{m}{n}=\frac{y}{z}=\frac{x}{y}\Rightarrow y^2=xz\)

Theo đề bài thì \(x^2+y^2+z^2\)là số nguyên tố hay \(x^2+2y^2+z^2-y^2=x^2+2zx+z^2-y^2=\left(x+z\right)^2-y^2=\left(x+y+z\right)\left(x+z-y\right)\)là số nguyên tố 

Khi đó \(x+z-y=1\Leftrightarrow x+z=1+y\)

\(\Rightarrow x^2+z^2+2y^2=y^2+2y+1\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2+x^2+z^2-2=0\)

Vì x, y, z là số nguyên dương nên x = y = z = 1