Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2+\left(x+1\right)^2+4}\right)}\le\sqrt{3\left(\sum\dfrac{1}{4xy+4x+4}\right)}\)
\(P\le\sqrt{\dfrac{3}{4}\sum\left(\dfrac{1}{xy+x+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(P_{max}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
Ta có \(x+y+z+\sqrt{xyz}=4\Rightarrow4x+4y+4z+4\sqrt{xyz}=16\)
Ta lại có \(\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}=\sqrt{x\left(16-4y-4z+yz\right)}=\sqrt{x\left(4x+4\sqrt{xyz}+yz\right)}=\sqrt{4x^2+4x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(2x+\sqrt{xyz}\right)^2}=2x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự \(\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}=2y+\sqrt{xyz}\)
\(\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}=2z+\sqrt{xyz}\)
Suy ra \(P=\sqrt{x\left(4-y\right)\left(4-z\right)}+\sqrt{y\left(4-z\right)\left(4-x\right)}+\sqrt{z\left(4-x\right)\left(4-y\right)}-\sqrt{xyz}=2x+\sqrt{xyz}+2y+\sqrt{xyz}+2z+\sqrt{xyz}-\sqrt{xyz}=2x+2y+2z+2\sqrt{xyz}=2\left(x+y+z+\sqrt{xyz}\right)=2.4=8\)
pt đã cho <=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)-2\left(x+y\right)-\left(x+y+2\sqrt{xy}\right)+2\sqrt{xy}+4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-4=0\)
<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x+y\right)-\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-2\left(x+y\right)+2\sqrt{xy}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)^2=0\)
<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\right)\left(x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2\right)=0\)
<=>\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\\x+y-\sqrt{xy}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0\end{cases}}\)
th2: nhân cả hai vế với 2 ta được
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2+2>0\)
=>th2 vô nghiệm
do đó M=\(\sqrt{xy}\)
áp dụng bdt cô si ta có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}>=2\sqrt{\sqrt{xy}}\)
<=>1>=\(\sqrt{\sqrt{xy}}\)(do \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\))
<=>\(\sqrt{xy}< =1\)
<=>M<=1
Lời giải:
Đặt $xy=t$
Áp dụng BĐT AM_GM:
$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=3$. Như vậy $0\leq t\leq 3$
Ta có:
$P=(x^4+1)(y^4+1)=x^4y^4+x^4+y^4+1$
$=x^4y^4+(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+1$
$=x^4y^4+[(x+y)^2-2xy]^2-2x^2y^2+1$
$=x^4y^4+2x^2y^2-48xy+145$
$=t^4+2t^2-48t+145$
$=t(t^3+2t-48)+145$
Vì $0\leq t\leq 3$ nên $t(t^3+2t-48)\leq 0$
$\Rightarrow P\leq 145$
Vậy $P_{\max}=145$. Giá trị này đạt tại $(x,y)=(0,2\sqrt{3})$ và hoán vị.