![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:
\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27}\)
Xảy ra khi x=y=z=1/3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
\(P=\sum \frac{1}{2xy^2+1}=\sum (1-\frac{2xy^2}{2xy^2+1})\)
\(=3-2\sum\frac{xy^2}{2xy^2+1}\geq 3-2\sum \frac{xy^2}{3\sqrt[3]{x^2y^4}}\) theo BĐT AM-GM.
\(=3-\frac{2}{3}\sum \sqrt[3]{xy^2}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt[3]{xy^2}\leq \frac{x+y+y}{3}\Rightarrow \sum \sqrt[3]{xy^2}\leq \frac{3(x+y+z)}{3}=3\)
$\Rightarrow P\geq 3-\frac{2}{3}.3=1$
Vậy $P_{\min}=1$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)
Ta có
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)
Bình phương 2 vế của (1)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)
Do x+y+z=0 nên
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)
Thay (3) vào (2)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét hiệu \(x^4-15x+14=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x^2+3x+7\right)\le0\)
\(\Rightarrow x^4\le15x-14\).
Tương tự: \(y^4\le15y-14;z^4\le15z-14\).
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên kết hợp giả thiết x + y + z = 5 ta có:
\(P=x^4+y^4+z^4\le15\left(x+y+z\right)-42=33\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = (2, 2, 1) và các hoán vị.
Vậy...
cho mình hỏi làm thế nào để bạn tìm ra đc cách xét hiệu x4-15x+14
có phưong pháp nào ko
nếu có thì bn giúp mk vs nhé
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của P = \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+xz}+\sqrt{z+xy}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}+\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}+\sqrt{z\left(x+y+z\right)+xy}\)
\(P=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(x+y+x+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y+y+z\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+z+y+z\right)\)
\(P\le2\left(x+y+z\right)=2\)
\(P_{max}=2\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(2x^{2014}+1005\ge1007\sqrt[1007]{x^{4028}}=1007x^4\)
\(\Leftrightarrow x^{2014}\ge\frac{1007x^4-1005}{2}\)
\(\Rightarrow3\ge\frac{1007\left(x^4+y^4+z^4\right)-3.1005}{2}\)
\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\le3\)