Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có bổ đề sau: \(a^2=pq\) với \(a,p,q\in Z^+\) và \(\left(p,q\right)=1\) thì p,q là hai số chính phương
\(2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)(*)
Gọi d là UWCLN của a-b và 2a+2b+1 ta có từ (*) b chia hết d.
a-b chia hết cho d nên 2a-2b chia hết cho d . Vậy 2a+2b+1-(2a-2b) chia hết d
nên 4b+1 chia hết d mà b chia hết cho d nên 1 chia hết d. Vậy hai số a-b và 2a+2b+1 nguyên tố cùng nhau
Áp dụng bổ đề có đpcm
a.
\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=32y\Leftrightarrow x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)
Do y và y+1 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow32⋮\left(y+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=\left\{4;16\right\}\)
\(\Rightarrow...\)
b.
\(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+a-b=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)
Gọi \(d=ƯC\left(2a+2b+1;a-b\right)\)
\(\Rightarrow b^2\) chia hết \(d^2\Rightarrow b⋮d\) (1)
Lại có:
\(\left(2a+2b+1\right)-2\left(a-b\right)⋮d\)
\(\Rightarrow4b+1⋮d\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow2a+2b+1\) và \(a-b\) nguyên tố cùng nhau
Mà tích của chúng là 1 SCP nên cả 2 số đều phải là SCP (đpcm)
Lời giải:
Ta có:
\(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow 2(a^2-b^2)+(a-b)=b^2\)
\(\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^2\)
Giả sử $a-b, 2a+2b+1$ không nguyên tố cùng nhau. Khi đó, giữa $a-b,2a+2b+1$ sẽ tồn tại ước nguyên tố chung.
Gọi p là ước nguyên tố chung của \(a-b, 2a+2b+1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots p\\ 2a+2b+1\vdots p\end{matrix}\right.\)
Vì \((a-b)(2a+2b+1)=b^2\Rightarrow b^2\vdots p\Rightarrow b\vdots p\)
\(\left\{\begin{matrix} b\vdots p\\ a-b\vdots p\end{matrix}\right.\rightarrow a\vdots p\)
\(\left\{\begin{matrix} a\vdots p\\ b\vdots p\\ 2a+2b+1\vdots p\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots p\) (vô lý)
Vậy $a-b,2a+2b+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của 2 số đó là một số chính phương nên bản thân mỗi số cũng là số chính phương.
Do đó \(2a+2b+1\) là số chính phương.
BĐT cần chứng minh tương đương với :
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(2+\frac{1}{a^2b^2c^2}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge9\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ,ta có :
\(a^2b+a^2b+\frac{1}{ab^2}\ge3\sqrt[3]{a^2b.a^2b.\frac{1}{ab^2}}=3a\)
tương tự : \(b^2c+bc^2+\frac{1}{bc^2}\ge3b\), \(\left(c^2a+ca^2+\frac{1}{ca^2}\right)\ge3c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế, ta được :
\(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\frac{1}{ab^2}+\frac{1}{bc^2}+\frac{1}{ca^2}\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Ta có: \(\frac{2a^2+3b^2}{2a^3+3b^3}\left(a+b\right)=1+ab\frac{2a+3b}{2a^3+3b^3}\)
Áp dụng BĐT Holder ta có:
\(\left(2a^3+3b^3\right)\left(2+3\right)^2\ge\left(2a+3b\right)^3\)
Vậy ta có thể viết lại BĐT cần chứng minh như sau;
\(VT\left(a+b\right)\le2+25ab\left(\frac{1}{\left(2a+3b\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+3a\right)^2}\right)\)
Nó đủ để ta có thể thấy rằng
\(25ab\left[\left(2b+3a\right)^2+\left(2a+3b\right)^2\right]\le2\left(2a+3b\right)^2\left(2b+3a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow59\left(a^2-b^2\right)^2+13\left(a^4+b^4-a^3b-ab^3\right)\ge0\)
BĐT cuối cùng đúng nên ta có ĐPCM
a/ \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)+\left(a+b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Giả sử d là UCLN (a - b, 2a + 2b + 1) thì ta có
b2 chia hết cho d2 => b chia hết cho d
Mà 2a + 2b + 1 - 2(a - b) = 4b + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
=> (a - b) và (2a + 2b +1) nguyên tố cùng nhau
Vậy 2a + 2b + 1 là số chính phương
2 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU KHÔNG CÓ NGHĨA LÀ 1 TRONG 2 SỐ ĐÓ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : VIDU 5 VÀ 6 LÀ 2 SỐ NG TỐ CÙNG NHAU VÌ CÓ UCLN=1 NHƯNG KO CÓ SỐ NÀO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CẢ...HIHIHI
Nếu \(a=0\) hoặc \(b=0\) thì \(a=b=0\to a-b=0,2a+2b+1=1\) là các số chính phương.
Xét trường hợp \(a,b\) là số nguyên dương.
Từ giả thiết suy ra \(2a^2+a-2b^2-b=b^2\to\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2.\)
Đặt \(d=UCLN\left(a-b,2a+2b+1\right)\to b^2\vdots d^2\to b\vdots d\to a\vdots d\to2a+2b\vdots d\to1\vdots d\to d=1.\)
Thành thử hai số \(a-b,2a+2b+1\) nguyên tố cùng nhau, có tích là số chính phương. Suy ra từng số phải là số chính phương (ĐPCM)