Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi K là giao điểm của AD và BC
F là giao điểm của KM và DC
Có \(AM=2MB\Rightarrow AM=\dfrac{2}{3}AB\)
Do AB//DC. Áp dụng định lý Thales có:
\(\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{KM}{KF}\)
\(\dfrac{MB}{FC}=\dfrac{KM}{KF}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{MB}{FC}\)
ADTCDTSBN có: \(\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{MB}{FC}=\dfrac{AM+MB}{DF+FC}=\dfrac{AB}{DC}\)
Do đó \(\dfrac{AM}{DF}=\dfrac{AB}{DC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{2}{3}AB}{DF}=\dfrac{AB}{DC}\Leftrightarrow\dfrac{2AB}{3DF}=\dfrac{AB}{DC}\Leftrightarrow DF=\dfrac{2}{3}DC\) (1)
mà \(DN=2NC\Rightarrow DN=\dfrac{2}{3}DC\) (2)
Do \(N;F\in DC\).Từ (1) và (2) \(\Rightarrow N\equiv F\)
\(\Rightarrow\) K;M;N thẳng hàng
\(\Rightarrow AD;BC;MN\) đồng quy tại K
Xét tứ giác AMCN có :
AM = CN ( VÌ DN = MB )
AM // CN ( AB//BC )
Suy ra AMCN là HBH ( 2 cạnh đối song song và bằng nhau )
Ta có AC cắt BD tại O ( đường chéo hbh ABCD ) (1 )
AB cắt MN tại O ( đường chéo hbh AMCN ) (2 )
Từ (1 ) và (2) suy ra AC, Mn, BD đồng quy
Gọi I là giao của AC và BD
Ta sẽ chứng minh MN cũng đi qua I
Ta có: AB // CD => \(\frac{AI}{IC}=\frac{BI}{ID}=\frac{AB}{DC}=\frac{\frac{2}{3}AB}{\frac{2}{3}DC}=\frac{AM}{NC}\)
Xét 2 tam giác: AMI và CNI có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{AM}{NC}=\frac{AI}{IC}\left(cmt\right)\\\widehat{MAI}=\widehat{NCI}\left(soletrong\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{NIC}\Rightarrow\overline{M,I,N}\) => đpcm
-OM cắt DC tại N'.
\(\dfrac{AM}{DN}=\dfrac{MB}{NC}=\dfrac{AM+MB}{DN+BC}=\dfrac{AB}{DC}\)
-Xét △ODN' có: AM//DN'.
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{DN'}=\dfrac{OM}{MN'}\) (hệ quả định lí Ta-let) (1)
-Xét △OCN' có: BM//CN'.
\(\Rightarrow\dfrac{BM}{CN'}=\dfrac{OM}{MN'}\) (định lí Ta-let) (2)
-Từ (1) và (2) suy ra:
\(\dfrac{AM}{DN'}=\dfrac{BM}{CN'}=\dfrac{AM+BM}{CN'+DN'}=\dfrac{AB}{CD}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{CN'}=\dfrac{BM}{DN'}=\dfrac{AM}{CN}=\dfrac{BM}{DN}\)
\(\Rightarrow CN=CN';DN=DN'\)
\(\Rightarrow N\equiv N'\)
-Vậy MN đi qua điểm O.