K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
29 tháng 5 2016
Cách 1:Ta có: \(2\left(1+a^2\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+a^2\right)\right]}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\)
mà: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+x^2y^2+x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{\left[2.\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(1+xy\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge2.\frac{1+xy}{\left(1+xy\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
8 tháng 8 2016
\(x-y=6\Rightarrow\left(x-y\right)^2=36\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2.30=36\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=96\)
Ta có : \(x^2+2xy+y^2=96+60=156\Rightarrow\left(x+y\right)^2=156\)
\(\Rightarrow x+y=\sqrt{156}=2\sqrt{39}\)
Ta có : \(x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\)
Tự thế vào nha
HP
8 tháng 8 2016
a) Dùng hằng đẳng thức: (x+y)2 - (x-y)2 = 4xy (1)
Thay x - y = 6 và xy = 30 vào (1), ta được:
\(\left(x+y\right)^2-6^2=4.30\) \(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-36=120\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=120+36=156\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=2\sqrt{39}\\x+y=-2\sqrt{39}\end{cases}}\)
Vì x>y>0 nên \(x+y=2\sqrt{39}\)
Suy ra: \(x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=2\sqrt{39}.6=12\sqrt{39}\)
b) Ta có: \(x^4+y^4=x^4-2x^2y^2+y^4+2x^2y^2=\left(x^2-y^2\right)^2+\left(\sqrt{2}xy\right)^2\) (2)
Thay \(x^2-y^2=12\sqrt{39}\)(câu a) và \(xy=30\) vào (2), ta được:
\(x^4+y^4=\left(12\sqrt{39}\right)^2+\left(\sqrt{2}.30\right)^2=7416\)
Đề của bạn làm sao ý!! MÌNH KHÔNG CHẮC LÀM ĐÚNG KHÔNG NỮA NHƯNG MONG BẠN NHA.
KK
15 tháng 4 2018
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
⇔ \(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
=> -x(x-y)(1+y2)+y(x-y)(1+x2) ≥ 0
⇔ (x-y)[-x(1+y2)+y(1+x2)]≥0
⇔ (x-y)(-x-xy2+y+x2y) ≥0
⇔ (x-y)[-(x-y)+(x2y-y2x)] ≥ 0
⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0
⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0
⇔ (x-y)2 (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)
=> đpcm
22 tháng 3 2019
bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề
BF
2
S
9 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương x,y,z ta có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 5 2021
\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x^2y^2}\)
\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}+\dfrac{2}{xy}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)^2x^2y^2}}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{2}{\left|xy\right|}+\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{xy}\)
2 tháng 4 2022
2.
\(4n^3+n+3=4n^3+2n^2+2n-2n^2-n-1+4=2n\left(2n^2+n+1\right)-\left(2n^2+n+1\right)+4\)-Để \(\left(4n^3+n+3\right)⋮\left(2n^2+n+1\right)\) thì \(4⋮\left(2n^2+n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2n^2+n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) (do n là số nguyên)
*\(2n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(2n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\) (loại) hay \(n=\dfrac{-1}{2}\) (loại)
*\(2n^2+n+1=-1\Leftrightarrow2n^2+n+2=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=2\Leftrightarrow2n^2+n-1=0\Leftrightarrow n^2+n+n^2-1=0\Leftrightarrow n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(2n-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow n=-1\) (loại) hay \(n=\dfrac{1}{2}\) (loại)
\(2n^2+n+1=-2\Leftrightarrow2n^2+n+3=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=4\Leftrightarrow2n^2+n-3=0\Leftrightarrow2n^2-2n+3n-3=0\Leftrightarrow2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(2n+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow n=1\left(nhận\right)\) hay \(n=\dfrac{-3}{2}\left(loại\right)\)
-Vậy \(n=1\)
2 tháng 4 2022
1. \(x^2+y^2=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2=0\)
-TH1: y lẻ \(\Rightarrow x-z;x+z\) đều lẻ.
\(x+3z-y=x+z-y+2x\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
-TH2: y chẵn \(\Rightarrow\)1 trong hai biểu thức \(x-z;x+z\) chia hết cho 2.
*Xét \(\left(x-z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x-z+4z-y\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
*Xét \(\left(x+z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x+z+2z-y\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow\)Hợp số.
KB
7 tháng 10 2018
Giả sử điều cần c/m là đúng
Ta có : \(x^2+y^2-xy\ge x+y-1\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy\ge2x+2y-2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) ( điều này luôn đúng )
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là đúng
\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge x+y-1\left(đpcm\right)\)
UK
18 tháng 8 2017
Giả sử đpcm đúng, ta có
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
\(x^2+x^2+y^2+y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1
\(x^2+y^2+1\ge xy+x+y\)
<=>\(2\left(x^2+y^2+1\right)\ge2\left(xy+x+y\right)\)
<=>\(2x^2+2y^2+2\ge2xy+2x+2y\)
<=>\(2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y\ge0\)
<=>\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)
<=>\(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-1=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
Vậy...