Question

[Biện Bạch Hiền]

Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, CD là đường kính thay đổi. Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B. AC,AD lần lượt cắt d tại P;Q.

a/ C/m tứ giác CPQD nội tiếp

b/ C/m trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với CD

c/ Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD. Khi đường kính CD thay đổi, điểm E di chuyển trên đường nào.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có: Đường tròn (O;R) có đường kính CD và điểm A nằm trên cung CD => ^CAD=90⁰

=> ^PAQ=90⁰ => \(\Delta\)APQ vuông tại A

Do PQ là tiếp tuyến của (O) tại B => AB là đường cao của \(\Delta\)APQ

=> ^PAB=^AQP (Cùng phụ ^APQ) hay ^CAO=^DQP

Mà \(\Delta\)AOC cân tại O => ^CAO=^ACO => ^DQP=^ACO

Lại có: ^ACO+^PCD=180⁰ => ^DQP+^PCD=180⁰

=> Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Xét \(\Delta\)APQ vuông tại A: Có đường trung tuyến AI => \(\Delta\)AIQ cân tại I

=>  ^IAQ=^IQA hay ^IAQ=^DQP => ^IAQ=^ACO (Do ^DQP=^ACO)

Hay ^IAQ=^ACD. Mà ^IAQ+^CAI=90⁰ => ^ACD+^CAI=90⁰ 

=> AI vuông góc với CD (đpcm).

c) Ta thấy tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn

=> 4 đường trung trực của CP;CD;DQ;PQ cắt nhau tại 1 điểm (1)

E là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)CPQ => Trung trực của CP và CD cắt nhau tại E (2)

Từ (1) và (2) => Điểm E nằm trên trung trực của PQ.

Lại có: I là trung điểm PQ => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn EI (*)

AB vuông góc PQ; EI cũng vuông góc PQ => AB//EI hay AO//EI (3)

E thuộc trung trực CD; O là trung điểm CD => OE vuông góc CD.

Mà AI vuông góc CD => OE//AI (4)ư

Từ (3) và (4) => Tứ giác AOEI là hình bình hành => AO=EI (**)

Từ (*) và (**) => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn AO

Mà AO là bk của (O); PQ là tiếp tuyến của (O) tại B

Nên ta có thể nói: Điểm E là điểm cách tiếp tuyến của (O) tại B một khoảng bằng độ dài bán kính của (O)

Vậy khi đường kính CD thay đổi thì điểm E di động trên đường thẳng song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và cách (O) 1 khoảng bằng độ dài bk của (O).