K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 5 2018

\(A=2+x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2+x+y+\frac{4}{x+y}+2\)

\(=4+\frac{2}{x+y}+\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}\)\(\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{x+y}\)

Ta lại có 

\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

Suy ra \(A\ge4+2\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=4+3\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

13 tháng 12 2021

\(P=\sum\dfrac{1}{x+y+1}\ge\dfrac{9}{2\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{2.1+3}=\dfrac{9}{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

13 tháng 12 2021

Lm dùm mik bài dưới lun vs

20 tháng 7 2019

\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)

                                             \(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)

Dấu "=" <=> x= y = 1/2

20 tháng 7 2019

\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)

                                                                                                  \(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)

Dấu "=" <=> x = 3y

3 tháng 7 2021

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel có:

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=6\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

3 tháng 7 2021

áp dụng BDT AM-GM

\(=>x+y\ge2\sqrt{xy}=>1\ge2\sqrt{xy}=>\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{2}=>xy\le\dfrac{1}{4}\)

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\)

\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+\dfrac{1}{2.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2=4+2=6\)

dấu"=" xảy ra \(< =>x=y=\dfrac{1}{2}\)