K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 4 2018

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab\)

ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\frac{ab}{bc}=2\frac{a}{c}\)

tương tự:\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\)

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}\)

Cộng 3 về bất đẳng thức trên lại với nhau ta đươc:\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

  \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

NV
3 tháng 7 2020

Hy vọng a;b;c dương

Khi đó: \(\frac{a^2}{b^2}+1\ge\frac{2a}{b}\) ; \(\frac{b^2}{c^2}+1\ge\frac{2b}{c}\) ; \(\frac{c^2}{a^2}+1\ge\frac{2c}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+3\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}-3\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

6 tháng 10 2019

Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\left(1\right)\)

Cmt ta có : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\left(2\right)\)

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\left(3\right)\)

Cộng vế với vế của các BĐT \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta được :

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

30 tháng 3 2018

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2b^2}{b^2c^2}}=2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=2\left|\frac{a}{c}\right|\ge\frac{2a}{c}\)

Chứng minh tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\\\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\end{cases}}\)

Cộng theo vế: \(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

30 tháng 4 2016

Ta có: \(\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)^2\ge0\)

<=>\(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{c}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a^2}-\frac{2c}{b}-\frac{2b}{a}\ge0\)

<=>\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{c}\)

cùng đường nếu a,b,c > hoặc = 0 thì dễ

30 tháng 4 2016

chính xác nếu a,b,c cùng dấu là dễ

15 tháng 10 2017

Đặt \(b+c=x;a+c=y;a+b=z\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có :

\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2\right)\ge\left(\frac{a}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{y}}.\sqrt{y}+\frac{c}{\sqrt{z}}.\sqrt{z}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xay ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

15 tháng 10 2017

Áp dụng S-vác-sơ, ta có

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+a+c+a+b}\)

                                                     \(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)

2 tháng 1 2019

\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà theo Cô-si ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

2 tháng 1 2019

cảm ơn hihi

2 tháng 1 2019

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Ta c/m BĐT phụ: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)( b tự c/m nhé. Chuyển vế, c/m VP>=0 là xong )

\(\Rightarrow\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

                                               đpcm

2 tháng 1 2019

Có thể c/m luôn giùm bđt phụ không ạ?

11 tháng 3 2018

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) ( với a,b,c>0) ta có:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}=\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}\ge a^2\)           (1)

CMTT ta được

\(\frac{b^3}{a+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{4}\ge b^2\)                             (2)

\(\frac{c^3}{a+b}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge c^2\)                             (3)

Cộng lần lượt từng vế của 3 BĐT (1);(2);(3) ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{a\left(b+c\right)}{4}+\frac{b\left(c+a\right)}{4}+\frac{c\left(a+b\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}+\frac{2\left(ab+bc+ac\right)}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{ab+bc+ca}{2}\)                 (*)

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)với 3 số a,b,c>0 ta được:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Thay vào pt (*) ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\left(đpcm\right)\)

k tớ nha !!!