K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

17 tháng 4 2018

Ta CM BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow a+b\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(do a2+b2=a+b) 

\(\Rightarrow2\ge a+b\) 

Ta có: \(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+1+b+1}\ge1\)

\(\Rightarrow S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le1\) 

Dấu "=" xảy ra khi: a=b=1

17 tháng 4 2022

CM BĐT kiểu j ạ

NV
16 tháng 4 2021

\(a+b\ge a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)

\(\Rightarrow2\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le1\)

Xét \(Q=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}=\dfrac{a\left(b+1\right)+b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{a+b+2ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\)

\(Q=\dfrac{a+b+ab+ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\le\dfrac{a+b+ab+1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=1\)

\(\Rightarrow P\le2020+1^{2021}=2021\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

7 tháng 6 2021

a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=1

b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) vào S ta được:

\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)

\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)

\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

22 tháng 12 2020

∙2/(a+b)=2/(a2+b2)≥(a+b)2⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1

22 tháng 12 2020

∙2/(a+b)=2/(a2+b2)≥(a+b)2⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1

1 tháng 6 2021

đề bài này sao sao ý của mik là nhỏ hơn hoặc bằng a+b

22 tháng 12 2020

∙2(a+b)=2(a^2+b2)≥(a+b)2⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1

10 tháng 5 2018

Ta có: \(a^2+b^2=a+b\Leftrightarrow4a^2+4b^2=4a+4b\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a+4b^2-4b=0\Leftrightarrow\left(4a^2-4a+1\right)+\left(4b^2-4a+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2=2\)

Áp dụng BĐT: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(\Rightarrow\left(2a-1\right)^2+\left(2b-1\right)^2\ge\frac{\left(2a+2b-2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow2\ge\frac{\left(2a+2b-2\right)^2}{2}\Leftrightarrow4\ge\left(2a+2b-2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow1\ge a+b-1\Leftrightarrow4\ge a+b+2\)

Nhận thấy: \(S=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}=\left(1-\frac{1}{a+1}\right)+\left(1-\frac{1}{b+1}\right)\)

\(=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\)

Ta áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+2}\Rightarrow2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le2-\frac{4}{a+b+2}\)

Do \(a+b+2\le4\)(cmt) \(\Rightarrow\frac{4}{a+b+2}\ge1\Rightarrow2-\frac{4}{a+b+2}\le1\)

Từ đó: \(S=2-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\le2-\frac{4}{a+b+2}\le1\)

Suy ra \(Max\) \(S=1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1.\)

11 tháng 3 2021

Nè Phan Linh Nhi, mk ko hỉu cái chỗ: a+b\(\le2\). Bn có thể giải thích chi tiết cho mk đc ko??

28 tháng 5 2023

*Tìm min:

\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{1}{1-a}-1+\dfrac{1}{1-b}-1\)

\(\ge\dfrac{4}{\left(1-a\right)+\left(1-b\right)}-2\)

\(=\dfrac{4}{2-\dfrac{1}{2}}-2=\dfrac{2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{4}\). Do đó minP=2/3

*Tìm max: \(a,b\ge0\)

\(P=\dfrac{a}{1-a}+\dfrac{b}{1-b}=\dfrac{a-ab+b-ab}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{1-\left(a+b\right)+ab}=\dfrac{\dfrac{1}{2}-2ab}{\dfrac{1}{2}+ab}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2\left(\dfrac{1}{2}+ab\right)}{\dfrac{1}{2}+ab}\)

\(=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}+ab}-2\le\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}-2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\dfrac{1}{2}\right),\left(\dfrac{1}{2};0\right)\)

Vậy maxP=1

22 tháng 12 2020

∙2/(a+b)=2/(a2+b2)≥(a+b)2⇒a+b≤2

Do đó:

S=a/a+1+b/b+1=(1−1/a+1)+(1−1/b+1)=2−(1/a+1+1/b+1)≤2−4/a+b+2≤2−4/2+2=1