Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{6}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}\)
Áp dụng BĐT phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge2\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)=2\left[\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right]=2.\dfrac{4}{4}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Áp dụng BĐT phụ: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{2^2}{4}=1\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
\(\Rightarrow2xy\le2.1=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{4}{2xy}\ge\dfrac{4}{2}=2\)
\(\Rightarrow Q=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy}+\dfrac{4}{2xy}=\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}\ge2+2=4\)
Dấu"=" xảy ra khi x=y=1
Từ giả thiết ta có:
\(\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)+y^2+10=0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right).\frac{7}{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^2-\left(\frac{7}{2}\right)^2+10=-y^2\le10\)
Mà \(\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\le0\)
\(\Rightarrow\left(x+y+\frac{7}{2}\right)^2\le\frac{9}{4}\)
Giải ra ta được \(x+y+1\ge-4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-5\\y=0\end{cases}}\)
Vậy \(A_{MIN}=-4\) tại \(\orbr{\begin{cases}x=-5\\y=0\end{cases}}\)
bạn giải cái bất phương trình sai rồi: Min phải bằng -1, đề kêu 2 số thực x;y dương nên ko có chuyện x= -5 đâu
\(2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow xy\ge1\)
\(\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\)
Cho x,y là các số dương thỏa mãn xy=1 .Tìm GTNN của biểu thức B=\(\frac{1}{x^2}\)+\(\frac{1}{9y^2}\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{9y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{9y^2}}=\frac{2}{3xy}=\frac{2}{3}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}=\frac{1}{9y^2}\\xy=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{3}\\y=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{cases}}\).
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
Ta có: \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}\)\(\Rightarrow\frac{x^4y^4+2x^2y^2+1}{x^2y^2}=\frac{\left(x^2y^2+1\right)^2}{x^2y^2}=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\)\(Tac\text{ó}:xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\)\(\text{ \text{áp} d\text{ụng} b\text{đ}t c\text{ô} si ta c\text{ó}: }\)
Áp dụng bddt cô si ta có :\(xy+\frac{1}{16xy}\ge2\sqrt{\frac{xy.1}{16xy}}=\frac{2.1}{4}=\frac{1}{2}\)
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^{2\Rightarrow}}{4}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\)\(\frac{1}{16xy}\ge\frac{4}{16}\Leftrightarrow\)\(\frac{15}{16xy}\le\frac{60}{16}=\frac{15}{4}\)\(\Rightarrow M=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}+\frac{15}{4}\right)^2=\left(\frac{17}{4}\right)^2=\frac{289}{16}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Đặt \(A=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(=y^2\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{1}{x^2}\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(=x^2y^2+1+1+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\)
\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)
C/m bđt phụ : \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)
\(\Rightarrow A\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
\(\left(x-y\right)^2\ge0;\forall xy\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\Rightarrow xy\ge4\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{4}=4\)
\(C_{min}=4\) khi \(x=y=2\)
Hoặc là:
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge16\Rightarrow x+y\ge4\)
\(\frac{18}{x}+\frac{2}{y}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{9}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{3^2}{x}+\frac{1}{2}\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{16}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge32\)
\(\text{Dấu '' = '' xảy ra khi:}\)
\(\orbr{\begin{cases}\frac{3}{x}=\frac{1}{y}\\x+y=32\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3y\\3y+y=32\end{cases}}\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)
đk : \(ĐK:x\ne0;y\ne0\)
Chia cả 2 vế cho 2, ta được: \(\frac{9}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Svac-sơ : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)
\(\rightarrow VT\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}\)\(\leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{x+y}=\frac{16}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge32\)
Dấu ''='' xảy ra \(\leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)
Vậy : \(Min\left(...\right)=32\leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=24\\y=8\end{cases}}\)