Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Từ x+y=1
=>x=1-y
Ta có: \(x^3+y^3=\left(1-y\right)^3+y^3=1-3y+3y^2-y^3+y^3\)
\(=3y^2-3y+1=3\left(y^2-y+\frac{1}{3}\right)=3\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)\)
\(=3\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right]=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\) với mọi y
=>GTNN của x3+y3 là 1/4
Dấu "=" xảy ra \(< =>\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0< =>y=\frac{1}{2}< =>x=y=\frac{1}{2}\) (vì x=1-y)
Vậy .......................................
b) Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}\)
\(=\left(\frac{x^2}{y+z}+x\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+y\right)+\left(\frac{z^2}{y+z}+z\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+z}-\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\)
Đặt \(A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\)
\(A=\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z}{y+x}+1\right)-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+x}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+x}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
(phần này nhân phá ngoặc rồi dùng biến đổi tương đương)
\(=>P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\ge2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\)
=>minP=1
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z
Vậy.....................
\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)
Mà \(\alpha=x+y+z\) (theo gt) nên ta có thể viết \(Q\) như sau:
\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)
Đặt \(a=\frac{y+z}{x};\) \(b=\frac{x+z}{y};\) và \(c=\frac{x+y}{z}\) \(\Rightarrow\) \(a,b,c>0\)
Khi đó, biểu thức \(Q\) được biểu diễn theo ba biến \(a,b,c\) như sau:
\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)
\(\Rightarrow\) \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)
Mặt khác, ta lại có:
\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)
nên \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)
\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Lại có: \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\) (theo bđt \(Cauchy\) lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)
Nhân hai bđt \(\left(1\right);\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được bđt mới là:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
Theo đó, \(a+b+c+3\ge9\) tức là \(a+b+c\ge6\)
\(\Rightarrow\) \(4\left(a+b+c\right)\ge24\) \(\left(\alpha\right)\)
Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh \(abc\ge8\) \(\left(\beta\right)\)
Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.
\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)
Vậy, bđt \(\left(\beta\right)\) được chứng minh.
Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)
\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\) \(\left(\gamma\right)\)
Cộng từng vế 3 bđt \(\left(\alpha\right);\) \(\left(\beta\right)\) và \(\left(\gamma\right)\), ta được:
\(Q-8\ge24+8+24=56\)
Do đó, \(Q\ge64\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=2\)
Vậy, \(Q_{min}=64\) khi \(\alpha=6\)
a) Từ đề bài có: \(x\left(x-1\right)\le0\Rightarrow x^2\le x\)
Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(M=x+y+z-3\ge x^2+y^2+z^2-3=-2\)
Đẳng thức xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;1) và các hoán vị của nó
Is it true?
\(4\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{xy}+1\le\sqrt{2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{2}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(8\le x+y+2\sqrt{x+y}\sqrt{2}+2=\left(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x+y}+\sqrt{2}\ge\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y\ge\left(\sqrt{8}-\sqrt{2}\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\)\(P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)+xy\left(x+y+z\right)-xyz}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(xyz+y^2z+yz^2+x^2z+xyz+xz^2+x^2y+xy^2+xyz-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(xyz+y^2z\right)+\left(xyz+x^2z\right)+\left(xz^2+yz^2\right)+\left(xy^2+x^2y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow yz\left(x+y\right)+xz\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(yz+xz+xy+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+y\\x+z=0\end{cases}}=0\) hoặc y+z=0
Do đó ta có B=0
Bạn ghi thiếu điều kiện rồi là số thực dương
Ta có (x^2-2xy+y^2+2xy)/x-y
<=>[ (x-y)^2+2] / x-y
Tách ra làm 2 phân số
x-y+ (2/x-y)
Dùng cô-si cho 2 số dương
Thì biểu thức trên sẽ ≥ 2✓(x-y)(2/x-y)
= 2✓2
Vậy cái đề
Áp dụng BĐT cô-si, ta có:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)}\ge1-\frac{1}{\left(y+1\right)}+1-\frac{1}{\left(z+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y}{\left(y+1\right)}+\frac{z}{\left(z+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\right)}\)
Ta có:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)}\ge3\sqrt{\frac{yz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)(1)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(y+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\right)}\)(2)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge3\sqrt{\left(\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\right)}\)(3)
Từ (1); (2) và (3), ta có:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(z+1\right)}\ge8\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}.\text{ dau }=\text{xay ra khi }x=y=z=\frac{1}{2}\)