Question

[Dương Đường Hương Thảo]

Cho  \(A=2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}+x.\)  Tìm các số tự nhiên \(x\) nhỏ hơn  \(5\) để \(A⋮3\)

Answer 1

[Jey]

Ta có : \(A=2^2+2^3+2^4+...+2^{10}+x\)

    \(\Rightarrow A-x=\left(2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5\right)+...+\left(2^9+2^{10}\right)\)

    \(\Rightarrow A-x=\left(2^2+2^3\right)+2^2\left(2^2+2^3\right)+...+2^7\left(2^2+2^3\right)\)

    \(\Rightarrow A-x=12+2^2.12+...+2^7.12\)

    \(\Rightarrow A-x=12\left(1+2^2+...+2^7\right)⋮3\)

Do A \(⋮\)3 và A - x \(⋮\)3 nên A - (A - x) \(⋮\)3

=> x \(⋮\)3 mà \(x< 5\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\)

Vậy \(A⋮3\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=3\end{cases}}\)