Question

[hong pham]

Với p,q là số nguyên tố lớn hơn 5. CMR: p⁴ - q⁴ chia hết cho 240.

Answer 1

[Nguyễn Đình Hiếu]

ta có

p^4-q^4=(p^4-1)+(q^4-1)

xét hiệu:p^4-1=(p^2)^2-1^4

                    =(p^2-1)(p^2+1)=(p+1)(p-1)(p^2+1)              (*)

Ta thấy p+1 và p-1 là hai số chãn liên tiếp=>(p+1)(p-1)chia hết cho 8.Đặt (p+1)(p-1)=8n

Mặt khác p^2+1 là số chẵn.Dặt p^2+1=2k

thay vào (*) ta có p^4-1=2k8n=16knchia hết cho 16            (1)

mặt khác vì p là số nguyên tố lớn hơn 5=>p^4 chia cho 3 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 3          (2)

mặt khascvif p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên khi p chia cho 5 sẽ nhận được các số dư là 1,2,3,4

Với p=5m+1=>p-1 chia hết cho 5

Với p=5m+2=>p^4 chia cho 5 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 5

Với p=5m+3=>p^4 chia cho 5 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 5

Với p=5m+4=>p^4chia cho 5 dư 1=>p^4-1 chia hết cho 5

Tóm lại qua mỗi trường hợp thì p^4-1 đều chia hết cho 5              (3)

Từ (1),(2)và(3)=>p^4-1 chia hết cho 16.3.5=240

chứng minh tương tự với q^4-1=>q^4-1 chia hết cho 240

=>p^4-q^4 chia hết cho 240

Answer 2

[Lê Thị Ngọc Minh]

Mình chẳng gì ngoài T/H2:p^4-q^4=(p^4+1)-(q^4+1)

Còn cách chứng minh như trên

Mình chưa chắc đâu,lỡ sai đừng trách mình!

                                                                                                                               Buồn!hu...hu..!