![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: (a+b)3=a3+b3+3ab.(a+b)=2013+3ab.(a+b) chia hết cho 3
Do đó: (a+b)3 chi hết cho 3
=> (a + b) chia hết cho 3
=> (a+b)3 chia hết cho 27.
Ta có: 3ab.(a+b) chia hết cho 9
2013 = (a+b)3−3ab.(a+b) chia hết cho 9: vô lý vì 2013 chia 9 dư 6
Vậy không tồn tại hay hai số nguyên dương a và b thỏa mãn đề bài
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Ta biết rằng một số lập phương khi chia 9 có thể nhận dư là $0,1,8$
Tức là:
$a^3\equiv 0,1,8\pmod {9}$
$b^3\equiv 0,1,8\pmod {9}$
$\Rightarrow a^3-b^3\equiv 0,-1,-8, 1,-7, 8, 7\pmod {9}$
Hay $a^3-b^3\equiv 0,8, 1, 2, 7\pmod {9}$
Mà $2019\equiv 3\pmod {9}$
Do đó không tồn tại số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^3-b^3=2019$ (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
giả sử tồn tại,
vì abc là số có 3 chữ số nên 99 < abc < 1000 mà abc = (a+b+c)3 do đó
a+b+c chỉ có thể nhận các giá trị bằng 5; 6; 7; 8; 9
nếu a+b+c = 5 => abc = 53 = 125 khác (1+2+5)3 = 83
nếu a+b+c = 6 => abc = 63 = 216 khác (2+1+6)3 = 93
nếu a+b+c = 7 => abc = 73 = 343 khác (3+4+3)3 = 103
nếu a+b+c = 8 => abc = 83 = 512 = (5+1+2)3 = 83 (nhận)
nếu a+b+c = 9 => abc = 93 = 729 khác (7+2+9)3 = 183
Vậy có tồn tại ......
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=2013$
$\Rightarrow (a+b)^3=3ab(a+b)+2013\vdots 3$
$\Rightarrow a+b\vdots 3$
$\Rightarrow (a+b)^3\vdots 27$ và $3ab(a+b)\vdots 9$
Do đó:
$2013=(a+b)^3-3ab(a+b)\vdots 9$
Điều này vô lý do $2013\not\vdots 9$
Vậy không tồn tại $a,b$ nguyên thỏa mãn đề.
Đặt \(a=3k+r\left(k\in Z\right),r\in0;1;2\)
\(a^3=27k^3+27k^2r+9kr^2+r^3\)
\(r\in0;1;2\) nên \(r^3\in0;1;8\) .Vậy \(a^3\): 9 dư 0 ; 1 ; 8
Tương tự \(b^3:9\) dư 0 ; 1 ; 8
\(c^3:9\) dư 0 ; 1 ; 8
Nên : \(a^3+b^3+c^3:9\) có số dư là 0;1;2;3;6;7;8
Mà : \(2012:9\) dư 5 nên không tồn tại a , b , c thõa mãn