Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)
Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\text{Áp dụng BĐT:}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\)
\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\text{tương tự với các BĐT còn lại }\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+3z+2y}+\frac{1}{3y+3z+2x}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{4}{x+z}+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}\right)=\frac{1}{16}.24=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\Rightarrow x^2+xy+\frac{y^2}{3}=x^2+xz+z^2+z^2+\frac{y^2}{3}\)
\(\Rightarrow xy=xz+2z^2\)
\(\Rightarrow xy+xz=2xz+2z^2\)
\(\Rightarrow x\left(y+z\right)=2z\left(x+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{y+z}{x+z}=\frac{2z}{x}\Rightarrow D\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{x}{z+y+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{z+y+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}=\frac{x+y+z}{z+y+1+x+z+1+x+y-2}\)
\(=\frac{x+y+z}{2x+2y+2z}=\frac{x+y+z}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}2x=y+z+1=\frac{1}{2}-x+1\Rightarrow x=\frac{1}{2}\\2y=x+z+1=\frac{1}{2}-y+1\Rightarrow y=\frac{1}{2}\\z=\frac{1}{2}-\left(x+y\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\end{cases}\)
đề đúng \(\frac{x}{z+y+1}=\frac{y}{x+z+1}=\frac{z}{x+y-2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)
M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a2 +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)
M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8
2) <=> (x-y)2 + (x+2)2 =8 => (x+2)2\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)
x=-4 => (y+4)2 =4 <=> y = -2;y = -6
x=-3 => (y+3)2 = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)2 =7 (vô nghiệm)
x=0 => y2 = 4 => y =2; =-2
vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)
3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh
3) sửa lại
áp dụng a2+b2+c2 \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))
dấu '=' khi x=y=z
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta co:\(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}|\)
\(x+y+z=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=0\)(Vì \(x,y,z\ne0\))
\(\Leftrightarrow\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\right)=0\)
Mà \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\right)\)
nên \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left|\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right|\)(Áp dụng HĐT \(\sqrt{x^2}=\left|x\right|\))
bình tĩnh và gửi từng câu th bạn
Mình ngồi giải được phần d rồi ^_^ mấy phần kia đang ngồi nghĩ tiếp