Question

[Andromeda]

tìm số tự nhiên x,y :biết x+y/x^2+y^2=7/25

Answer 1

[Võ Đông Anh Tuấn]

x=3;y=4

hoac x=4;y=3

Answer 2

[Nguyễn Quốc Tuấn]

\(\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{7}{25}\)
Do (7;25) = 1

\(\Rightarrow\)Tồn tại số nguyên dương k thỏa mãn tính chất \(\hept{\begin{cases}x+y=7k\\x^2+y^2=25k\end{cases}}\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:

\(\left(x+y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow49k^2=50k\)

\(\Leftrightarrow k\le\frac{50}{49}\)

Mà k nguyên dương \(\Rightarrow k=1\)

Thay k = 1 vào hệ phương trình (1), ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+y=7\\x^2+y^2=25\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=7-x\\x^2+\left(7-x\right)^2=25\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=7-x\\x^2+49-14x+x^2=25\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=7-x\\2x^2-14x+24=0\end{cases}}\)

Đến đây, giải phương trình bậc hai theo x (phương trình bên dưới) bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử tìm x, sau đó thay x vào biểu thức bên trên tìm y. Đáp án là 2 cặp nghiệm (4;3);(3;4).