Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt[3]{\overline{xyz}}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\overline{xyz}=\left(x+y+z\right)^3\)
Đặt \(m=x+y+z\Rightarrow m\equiv\overline{xyz}\left(mod9\right)\)
\(\Rightarrow\overline{xyz}-m⋮9\)
Đặt \(\overline{xyz}-m=9k\left(k\inℕ\right)\)
\(\Leftrightarrow m^3-m=9k\Leftrightarrow\left(m-1\right)m\left(m+1\right)=9k\)
\(\Rightarrow\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮9\)
Nhận xét:trong 3 số tự nhiên liên tiếp tồn tại duy nhất 1 số chia hết cho 3 mà tích chúng chia hết cho 9 nên tồn tại duy nhất 1 số chia hết cho 9
Mặt khác \(100\le\overline{xyz}\le999\Rightarrow100\le m^3\le999\)
\(\Leftrightarrow4\le m\le9\Rightarrow3\le m-1\le8;5\le m+1\le10\)
Nếu \(m⋮9\Rightarrow m=9\Rightarrow\overline{xyz}=9^3=729\)
Thử lại ta thấy không thỏa mãn,loại
Nếu \(m-1⋮9\left(KTM\right)\)
Nếu \(m+1⋮9\Rightarrow m+1=9\Rightarrow m=8\Rightarrow\overline{xyz}=8^3=512\)
Thử lại ta thấy thỏa mãn
Vậy số đó là 512
<=>27xyz=27(x+y+z)+54
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge27\left(x+y+z\right)+54\Rightarrow x+y+z\le6\)
\(4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le12\left(x+y+z\right)=9\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)\le9\left(x+y+z\right)+18=9\left(x+y+z+2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le9xyz\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\frac{3}{2}\sqrt{xyz}\left(Q.E.D\right)\)
Từ giả thiết ta đặt ra: \(x+y+z=xyz\Rightarrow xy+yz+zx\ge\sqrt{3}a+b+c\ge9\) *
Ta lại có: \(x^2+5\ge5\sqrt{xyz}\)theo BĐT Cauchy
Từ đó BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+27\le4xy+yz+zx\Leftrightarrow a+b+c+27\le6\)
Đặt: \(\hept{\begin{cases}p=x+y+z\\q=xy+yz+zx\\r=xyz\end{cases}}\)
Thì ta có: \(p=r\)và cần chứng minh
\(6q\ge p^2+27\Leftrightarrow6pr\ge p^3+27p\)
Theo BĐT Schur thì: \(r\ge\frac{4pq-p^3}{9}\)
Do đó: \(BĐT\Leftrightarrow\frac{8}{3}q^2\ge\frac{3}{2}p^2+27\)
BĐT cuối cùng đúng theo Đk *
P/s: Tham khảo nhé
Tham khảo:
Cho 3 số thức x,y,z thỏa mãn \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\) tìm giá trị lớn nhất của biết thức Q=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt... - Hoc24
