![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét p=2, ta có: 4p+1=9 là số chính phương.
Xét p>2, vì p là số nguyên tố nên p=2k+1 (k∈N∗)
Ta có: 4p+1=4(2k+1)+1=8k+5
Mặt khác 4p+1 là một số chính phương lẻ nên chia 8 dư 1.
Do đó với p>2 thì 4p+1 không là số chính phương.
Vậy số nguyên tố p để 4p+1 là số chính phương là 2.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi 2n+1=a2 ; 3n+1=b2 (a,b thuộc N, \(10\le n\le99\))
\(10\le n\le99\Rightarrow21\le2n+1\le199\)
\(\Rightarrow21\le a^2\le199\)
Mà 2n+1 lẻ
\(\Rightarrow2n+1=a^2\in\left\{25;49;81;121;169\right\}\)
\(\Rightarrow n\in\left\{25;49;81;121;169\right\}\)
\(\Rightarrow3n+1\in\left\{37;73;121;181;253\right\}\)
Mà 3n+1 là số chính phương
\(\Rightarrow3n+1=121\Rightarrow n=40\)
Vậy n=40
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a ) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là \(n;n+1;n+2;n+3\)
Ta có : \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\) là số chính phương (đpcm)
b ) \(\frac{a^2+a+3}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)+3}{a+1}=a+\frac{3}{a+1}\)
\(\Rightarrow a+1\) thuộc Ư(3) = { -3; -1; 1; 3 }
=> a = { - 4; - 2; 0; 2 }
Giải như sau:
Từ đề bài đặt p2+3pq+q2=a2p2+3pq+q2=a2
Suy ra (p+q)2+pq=a2(p+q)2+pq=a2
Do đó: pq=(a−p−q)(a+p+q)pq=(a−p−q)(a+p+q) và a+p+q>a−p−qa+p+q>a−p−q
Nhận thấy vì p,qp,q là số nguyên tố nên ta chỉ xét 2 TH sau:
TH1: a−p−q=1a−p−q=1và a+p+q=pqa+p+q=pq
Suy ra a=1+p+qa=1+p+q và a=pq−p−qa=pq−p−q
Kết hợp suy ra 1+p+q=pq−p−q1+p+q=pq−p−q suy ra pq−2p−2q−1=0pq−2p−2q−1=0 suy ra (p−2)(q−2)=5(p−2)(q−2)=5 suy ra (p,q)=(3,7),(7,3)(p,q)=(3,7),(7,3)
TH2: Nếu a+p+q=qa+p+q=q <1> (trường hợp bằng pp tương tự)
Khi đó a−p−q=pa−p−q=p <2> Kết hợp <2> và <1> có q+3p=0q+3p=0 vô lý
Tóm lại bài chỉ có nghiệm (p,q)=(3,7),(7,3)
Từ đề bài đặt p2+3pq+q2=a2p2+3pq+q2=a2
Suy ra (p+q)2+pq=a2(p+q)2+pq=a2
Do đó: pq=(a−p−q)(a+p+q)pq=(a−p−q)(a+p+q) và a+p+q>a−p−qa+p+q>a−p−q
Nhận thấy vì p,qp,q là số nguyên tố nên ta chỉ xét 2 TH sau:
TH1: a−p−q=1a−p−q=1và a+p+q=pqa+p+q=pq
Suy ra a=1+p+qa=1+p+q và a=pq−p−qa=pq−p−q
Kết hợp suy ra 1+p+q=pq−p−q1+p+q=pq−p−q suy ra pq−2p−2q−1=0pq−2p−2q−1=0 suy ra (p−2)(q−2)=5(p−2)(q−2)=5 suy ra (p,q)=(3,7),(7,3)(p,q)=(3,7),(7,3)
TH2: Nếu a+p+q=qa+p+q=q <1> (trường hợp bằng pp tương tự)
Khi đó a−p−q=pa−p−q=p <2> Kết hợp <2> và <1> có q+3p=0q+3p=0 vô lý
Tóm lại bài chỉ có nghiệm (p,q)=(3,7),(7,3