Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(u=x,dv=e^{ax}\cos bxdx\)
khi đó \(du=dx,v=\int e^{ax}\cos bxdx\)
Sau hai lần tìm nguyên hàm liên tiếp, ta thu được
\(v\left(x\right)=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)
Do đó :
\(I=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{1}{a^2+b^2}\int e^{ax}\left(a\cos bx+b\sin bx\right)dx\)
\(=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{a}{a^2+b^2}\int e^{ax}\cos bxdx-\frac{b}{a^2+b^2}\int e^{ax}\sin bxdx\)
Tích phân thứ nhất ở vế phải đã được tính (chính là v(x). Tích phân thứ hai được tính hoàn toàn tương tự
\(\int e^{ax}\sin bxdx=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)
Từ các tính toán trên suy ra :
\(I=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left[\left(x-\frac{a}{a^2+b^2}\right)\left(a\cos bx+b\sin bx\right)-\frac{b}{a^2+b^2}\left(a\sin bx+b\cos bx\right)\right]+C\)
Biến đổi :
\(\frac{8\cos x}{3\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos x^2}=\frac{8\cos x}{\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)^2}\)
Giả sử :
\(8\cos x=a\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)+b\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)=\left(a\sqrt{3}-b\right)\sin x+\left(a+b\sqrt{3}\right)\cos x\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}a\sqrt{3}-b=0\\a+b\sqrt{3}=8\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\\b=2\sqrt{3}\end{cases}\)
Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)\right)}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}\)
Trong đó :
\(F\left(x\right)=\int\frac{2dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\right|-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}+C\)
Ta biến đổi f(x) về dạng :
\(f\left(x\right)=\frac{\sin x.\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-1=\frac{\cos\frac{\pi}{4}}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-1\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx-\int dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx-x\left(1\right)\)
Để tính \(J=\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx\)
Ta có \(\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx=\sqrt{2}\int\frac{1}{\cos x.\left(\cos x-\sin x\right)}dx=\sqrt{2}\int\frac{1}{\left(1-\tan x\right)}.\frac{1}{\cos^2x}dx\)
\(=-\sqrt{2}\int\frac{d\left(1-\tan x\right)}{1-\tan x}=\sqrt{2}\ln\left|1-\tan x\right|+C\)
\(\int sin^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosx\right)dx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}sinx+C\)
\(\int cos^23xdx=\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos6x\right)dx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}sin6x+C\)
\(\int4cos^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(2+2cosx\right)dx=2x+2sinx+C\)
a1sinx+b1cosx=A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx-b2sinx) roi the vo ,do la dung dong nhat thuc
1.
\(I=\int\dfrac{cot^2x}{sin^6x}dx=\int\dfrac{cot^2x}{sin^4x}.\dfrac{1}{sin^2x}=\int cot^2x\left(1+cot^2x\right)^2.\dfrac{1}{sin^2x}dx\)
Đặt \(u=cotx\Rightarrow du=-\dfrac{1}{sin^2x}dx\)
\(I=-\int u^2\left(1+u^2\right)^2du=-\int\left(u^6+2u^4+u^2\right)du\)
\(=-\dfrac{1}{7}u^7+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{1}{3}u^3+C\)
\(=-\dfrac{1}{7}cot^7x+\dfrac{2}{5}cot^5x+\dfrac{1}{3}cot^3x+C\)
2.
\(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right).cosxdx=\int e^{sinx}.cosxdx+\int cos^2xdx\)
\(=\int e^{sinx}.d\left(sinx\right)+\dfrac{1}{2}\int\left(1+cos2x\right)dx\)
\(=e^{sinx}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}sin2x+C\)
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi
\(a_1\sin x+b_1\cos x+c_1=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C}{_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=A\int dx+B\int\frac{\left(a_2\cos_{ }x-b_2\sin x_{ }\right)dx}{_{ }a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=Ax+B\ln\left|a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right|+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
Trong đó :
\(\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{2\sin\frac{x+\alpha}{2}.\cos\frac{x+\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{2\tan\frac{x+\alpha}{2}.\cos^2\frac{x+\alpha}{2}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{d\left(\tan\frac{x+\alpha}{2}\right)}{\tan\frac{x+\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln\left|\tan\frac{x+\alpha}{2}\right|+C\)
Đối với cả ba nguyên hàm đã cho, ta sẽ áp dụng liên tiếp hai làn lấy nguyên hàm từng phần và trong hai lần việc chọn hàm \(u=u\left(x\right)\) là tùy ý ( còn \(dv\) là phần còn lại của biểu thức dưới dấu nguyên hàm. Sau phép lấy nguyên hàm từng phần kép đó ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất với ẩn là nguyên hàm cần tìm
a) Đặt \(u=e^{2x}\) ,\(dv=\sin3xdx\)
Từ đó \(du=2e^{2x}dx\) , \(v=\int\sin3xdx=-\frac{1}{3}\cos3xdx\) Do đó :
\(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx\)
\(=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}.I'_1\)\(I'_1=\int e^{2x}\cos3xdx\)
Ta áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần
Đặt \(u=e^{2x}\) ; \(dv=\cos3xdx\) Khi đó \(du=2^{2x}dx\); \(v=\frac{1}{3}\sin2x\)
Do đó \(I'_1=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx\) Như vậy :
\(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}e^{2x}\sin3x-\frac{4}{9}\int e^{2x}\sin3xdx\)
\(I_1=\int e^{2x}\sin3xdx\)
Tức là \(I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}\sin3x-\frac{4}{9}I_1\)
Ta có \(I_1=\frac{3}{13}e^{2x}\left(\frac{2}{3}\sin3x-\cos3x\right)+C\)
b) Đặt \(u=e^{-x}\) ; \(dv=\cos\frac{x}{2}dx\)
Từ đó :
\(du=-e^{-x}dx\) ; \(v=\int\cos\frac{x}{2}dx=2\int\cos\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}\)
Do đó :
\(I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx\) (b)
\(\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx=I'_2\)
Ta cần tính \(I'_2\) Đặt \(u=e^{-x}\) ; \(dv=\sin\frac{x}{2}dx\)
Từ đó :
\(du=-e^{-x}dx\) ; \(v=\int\sin\frac{x}{2}dx=-2\cos\frac{x}{2}\)
Do đó :
\(I'_2=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx\)
\(=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\)
Thế \(I'_2\) vào (b) ta thu được phương trình bậc nhất với ẩn là \(I_2\)
\(I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\left[-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\right]\)
hay là
\(5I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}-4e^{-x}\cos\frac{x}{2}\) \(\Rightarrow\) \(I_2=\frac{2}{5}e^{-x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+C\)
Đầu tiên ta biến đổi đồng nhất biểu thức dưới dấu nguyên hàm nhờ các công thức biến đổi tích thành tổng. Ta có :
\(\left(\cos x\cos2x\right)\cos5x=\frac{1}{2}\left[\cos\left(-x\right)+\cos3x\right]\cos5x\)
\(=\frac{1}{2}\cos x\cos5x+\frac{1}{2}\cos3x\cos5x\)
\(=\frac{1}{4}\left[\cos\left(-4x\right)+\cos6x\right]+\frac{1}{4}\left[\cos\left(-2x\right)+\cos8x\right]\)
\(=\frac{1}{4}\cos2x+\frac{1}{4}\cos4x+\frac{1}{4}\cos6x+\frac{1}{4}\cos8x\)
Như vậy :
\(I=\frac{1}{4}\int\cos2xdx+\frac{1}{4}\int\cos4xdx+\frac{1}{4}\int\cos6xdx+\frac{1}{4}\int\cos8xdx\)
\(=\frac{1}{8}\sin2x+\frac{1}{16}\sin4x+\frac{1}{24}\sin6x+\frac{1}{32}\sin8x+C\)