Question

[Sdodo Anh]

Tìm min của Y= 3|Z|+4|Z-4i|+5|Z-3|

Answer 1

[Mysterious Person]

đặc \(z=a+bi\) (\(a;b\in R\) và \(i^2=-1\))

ta có : \(Y=3\left|z\right|+4\left|z-4i\right|+5\left|z-3\right|\)

\(\Leftrightarrow Y=3\left|a+bi\right|+4\left|a+\left(b-4\right)i\right|+5\left|\left(a-3\right)+bi\right|\)

\(\Leftrightarrow Y=3\sqrt{a^2+b^2}+4\sqrt{a^2+\left(b-4\right)^2}+5\sqrt{\left(a-3\right)^2+b^2}\)

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

\(Y\ge-\sqrt{\left(3^2+4^2+5^2\right)\left(a^2+b^2+a^2+\left(b-4\right)^2+\left(a-3\right)^2+b^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow Y\ge-5\sqrt{2}.\sqrt{3a^2+3b^2-8b-6a+25}\)

\(\Leftrightarrow Y\ge-5\sqrt{2}.\sqrt{3\left(a-1\right)^2+\left(\sqrt{3}b-\dfrac{8}{2\sqrt{3}}\right)^2+\dfrac{50}{3}}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{3}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{a^2+\left(b-4\right)^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{\left(a-3\right)^2}+b^2}\)

giải ra tìm được \(a;b\) rồi thay ngược trở lại nha