Question

[Nut Cute]

tìm gtnn của  |x+1|+|x-3|+|x-5|

Answer 1

[Ngô Chi Lan]

Bài làm:

Ta có: \(\left|x+1\right|+\left|x-3\right|+\left|x-5\right|\)

\(=\left(\left|x+1\right|+\left|x-5\right|\right)+\left|x-3\right|\)

\(=\left(\left|x+1\right|+\left|5-x\right|\right)+\left|x-3\right|\)

\(\ge\left|x+1+5-x\right|+0=6\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(5-x\right)\ge0\\\left|x-3\right|=0\end{cases}}\) => \(x=3\)

Vậy \(Min=6\Leftrightarrow x=3\)

Answer 2

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

| x + 1 | + | x - 3 | + | x - 5 |

= | x + 1 | + | x - 3 | + | -( x - 5 ) |

= | x + 1 | + | x - 3 | + | 5 - x |

= | x - 3 | + ( | x + 1 | + | 5 - x | )

Ta có : | x - 3 | ≥ 0 

            | x + 1 | + | 5 - x | ≥ | x + 1 + 5 - x | = | 6 | = 6 ( áp dụng bđt | a | + | b | ≥ | a + b |

                                                                                     đẳng thức xảy ra <=> ab ≥ 0 )

=> | x - 3 | + ( | x + 1 | + | 5 - x | ) ≥ 6

Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-3=0\\\left(x+1\right)\left(5-x\right)\ge0\end{cases}}\)

+) x - 3 = 0 => x = 3 (1)

+) ( x + 1 )( 5 - x ) ≥ 0 

1. \(\hept{\begin{cases}x+1\ge0\\5-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\-x\ge-5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x\le5\end{cases}}\Rightarrow-1\le x\le5\)(2)

2. \(\hept{\begin{cases}x+1\le0\\5-x\le0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x\le-1\\-x\le-5\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le-1\\x\ge5\end{cases}}\)( loại )

Từ (1) và (2) => x = 3

Vậy GTNN của biểu thức = 6 <=> x = 3