Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
\(P=\sqrt{\left(x-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(y-3\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(z-3\right)^2+4^2}\)
\(P\ge\sqrt{\left(x-3+y-3+z-3\right)^2+\left(4+4+4\right)^2}=6\sqrt{5}\)
\(P_{min}=6\sqrt{5}\) khi \(x=y=z=1\)
Mặt khác với mọi \(x\in\left[0;3\right]\) ta có:
\(\sqrt{x^2-6x+25}\le\dfrac{15-x}{3}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(9\left(x^2-6x+25\right)\le\left(15-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow8x\left(3-x\right)\ge0\) luôn đúng
Tương tự: ...
\(\Rightarrow P\le\dfrac{45-\left(x+y+z\right)}{3}=14\)
\(P_{max}=14\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;3\right)\) và hoán vị
ÁP dụng bất đẳng thức bunyakovsky:
\(P^2=\left(\sqrt{x}\sqrt{x+xy}+\sqrt{y}\sqrt{y+xy}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x+y+2xy\right)=1+2xy\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy: \(xy\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{4}\)
khi đó \(P^2\le1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)
đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
anh chi oi giup em cau nay voi:cho x+y=4. tim gtln cua: a=(x-2)y+2017
Đk: \(x\ge0\)
\(P=\dfrac{\sqrt{x}}{x+3\sqrt{x}+4}\)
\(\Leftrightarrow x.P+\sqrt{x}\left(3P-1\right)+4P=0\) (1)
Xét P=0 <=> x=0(tm)
Xét \(P\ne0\) .Coi pt (1) là phương trình ẩn \(\sqrt{x}\)
Phương trình (1) có nghiệm không âm khi \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\S\ge0\\P\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7P^2-6P+1\ge0\\\dfrac{1-3P}{P}\ge0\\4\ge0\left(lđ\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1\le P\le\dfrac{1}{7}\\0< P\le\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< P\le\dfrac{1}{7}\)
Kết hợp với P=0 \(\Rightarrow0\le P\le\dfrac{1}{7}\)
Có \(\dfrac{1}{7}>0\) => maxP=\(\dfrac{1}{7}\). Thay \(P=\dfrac{1}{7}\) vào (1) tìm được x=4 (tm)
minP=0 <=> x=0
Ta có:
\(A=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\) \(\left(-1\le x\le1\right)\)
\(=1.\sqrt{1-x}+1.\sqrt{1+x}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
\(A=1.\sqrt{1-x}+1.\sqrt{1+x}\)
\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right).\left(1-x+1+x\right)}=\sqrt{2.2}=2\)
Vậy \(A_{max}=2\), đạt được khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}\Leftrightarrow1-x=1+x\Leftrightarrow x=0\)
\(A^2=x+2+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(2-x\right)}+2-x==4+2\sqrt{\left(x+2\right)\left(2-x\right)}\ge4\)
\(\Rightarrow A\ge2\).Nên GTNN của A là 2 đạt được khi \(\sqrt{\left(x+2\right)\left(2-x\right)}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=2\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(A^2=\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{x+2}\right)^2+\left(\sqrt{2-x}\right)^2\right]\)
\(=2.\left(x+2+2-x\right)=2.4=8\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{8}\).Nên GTLN của A là \(\sqrt{8}\) đạt được khi \(\frac{\sqrt{x+2}}{1}=\frac{\sqrt{2-x}}{1}\Leftrightarrow\sqrt{x+2}=\sqrt{2-x}\)
\(\Rightarrow x+2=2-x\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)
ĐKXĐ: \(1954\le x\le2014\)
y = \(\sqrt{x-1954}+\sqrt{2014-x}\ge\sqrt{x-1954+2014-x}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\)
ĐTXR <=> (x-1954)(2014-x) = 0 <=>\(\orbr{\begin{cases}x=1954\\x=2014\end{cases}}\)
Vậy GTNN y = \(2\sqrt{15}\)khi x = 1954 hoặc x = 2014
y = \(\sqrt{x-1954}+\sqrt{2014-x}\le\sqrt{2\left(x-1954+2014-x\right)}=\sqrt{2\cdot60}=\sqrt{120}=2\sqrt{30}\)
ĐTXR <=> x - 1954 = 2014 - x <=> x = 1984 (thỏa ĐKXĐ)
Vậy GTLN y = \(2\sqrt{30}\)khi x=1984
Bài này áp dụng bất đẳng thức phụ: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) (Dau "=" xay ra khi ab=0)
va bat dang thuc \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\) (Dau "=" xay ra khi a=b)
Ở dưới chưa chứng minh bất đẳng thức nên chứng minh thêm nha, không được ghi thẳng như ở dưới