HN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MT
2
20 tháng 7 2017
Có :
x3 + y3 + z3 = 3xyz
x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
(x + y)3 - 3.xy.(x + y) + z3 - 3xyz = 0
(x + y)3 + z3 - 3xy.(x + y + z) = 0
(x + y + z).[(x + y)2 - (x + y).z) + z2] - 3xy(x + y + z) = 0
(x + y + z).[x2 + 2xy + y2 - zx - yz + z2] - 3xy(x + y + z) = 0
(x + y + z).[x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx] = 0
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{cases}}\)
Với \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z\)
PL
10 tháng 6 2018
a, x^4 - 5x^2 + 4
= x^4 - 4x^2- x+ 4
= x^2 . (x^2 - 4) - (x^2 - 4)
= (x^2 - 4) . (x^2 - 1)
= (x - 2) . (x + 2) . (x - 1) . (x + 1)
9 tháng 8 2016
Ta có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]=0\)(Nhân hai vế với 2)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
Tới đây bạn xét hai trường hợp nhé :)
DT
9 tháng 8 2016
(x+y+z)((X+Y)^2-Z(X+Y))-3XY(X+Y+Z)
=(X+Y+Z)(X^2+2XY+Y^2-XZ-YZ-3XY)
=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XZ-YZ-XY)
M
5
3 tháng 10 2018
Ta có: \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^3=\left(-z\right)^3\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)\(\Rightarrow x+y+z=0\left(đpcm\right)\)( P/s cx ko chắc lắm :P )
AK
3 tháng 10 2018
That's very easy
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+y^3+3x^2y+3y^2x\right)+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2-3xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\left(1\right)\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\end{cases}}\)
Lại có : \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
Nhân 2 lên , nhóm vào ta được các cặp số : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\left(2\right)\)( làm tắt )
Do \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\\\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z\\\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\forall x;y;z\left(3\right)\)
Từ ( 2 ) ; ( 3 ) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\x-z=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\left(4\right)\)
Từ (1) ; (4) => đpcm
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
TN
20 tháng 6 2016
Ta có:\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz\right)=0\)
\(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\right)=0\)
\(\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2+\left(y-z\right)^2\right]=0\)
\(x+y+z=0\)hoặc \(x=y=z\)(Đpcm)
TQ
0
AN
1
7 tháng 7 2021
Ta có: \(\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz}{x+y+z}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2+2xy-yz-zx-3xy\right)}{x+y+z}\)
\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\left(\forall x,y,z\right)\)
=> đpcm
Đặt \(P=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=x^3+\left(y+z\right)^3-3yz\left(y+z\right)-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[x^2-x\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2\right]-3yz\left(x+y+z\right)\)
\(=3\left(x^2+y^2+z^2+2yz-xy-xz\right)-9yz\)
\(=3\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=3\left[\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+zx\right)\right]\)
\(=3\left[9-3\left(xy+yz+zx\right)\right]\)
Do \(0\le x,y,z\le2\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Rightarrow xyz+\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)-4\left(x+y+z\right)+8\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge4.3-8=4\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge2\)
\(\Rightarrow P\le3.\left[9-3.2\right]=9\)
\(P_{max}=9\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị của chúng