![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\)
\(\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}< 2\left(a+b\right)\Leftrightarrow-\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)< 0\Leftrightarrow-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< 0\)(luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Áp dụng : \(\frac{\sqrt{1998}+\sqrt{2000}}{2}< \sqrt{\frac{1998+2000}{2}}=\sqrt{1999}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1998}+\sqrt{2000}< 2.\sqrt{1999}\)
Phần chứng minh bất đẳng thức bạn ghi thêm điều kiện a,b > 0 nhé
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(2\frac{1998}{1999}\)là hỗn số hay \(2.\frac{1998}{1999}\)hả bạn?
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\sqrt{1.1998}< \frac{1+1998}{2}\)
\(S>\frac{2}{1999}+\frac{2}{1999}+...+\frac{2}{1999}=2.\frac{1998}{1999}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng \(\frac{1}{\sqrt{a.b}}>\frac{2}{a+b}\) , ta có :
\(S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{k\left(1998-k+1\right)}}+...+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}>\)
\(>\frac{2}{1+1998}+\frac{2}{2+1997}+...+\frac{2}{k+1998-k+1}+...+\frac{2}{1998+1}=\)
\(=\frac{2.1998}{1999}\)
Vậy \(S>\frac{2.1998}{1999}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left(\sqrt{1998}+\sqrt{2000}\right)^2=1998+2000+2.1998.2000=2.1999+2.1998.2000\)
\(\left(2\sqrt{1999}\right)^2=4.1999=2.1999+2.1999\)
Mà \(2.1998.2000>2.1999\)
\(=>\left(\sqrt{1998}+\sqrt{2000}\right)^2>\left(2\sqrt{1999}\right)^2=>\sqrt{1998}\)+\(\sqrt{2000}>2\sqrt{1999}\)
Câu trả lời đây bạn nhé ^^
http://olm.vn/hoi-dap/question/602523.html