K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 8 2021

Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:

\(\left(sin^42x+cos^42x\right)\left(1+1\right)\ge\left(sin^22x+cos^22x\right)^2\)\(\Rightarrow sin^42x+cos^42x\ge\dfrac{1}{2}\)

\(\left(sin^82x+cos^82x\right)\left(1+1\right)\ge\left(sin^42x+cos^42x\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\)\(\Rightarrow sin^82x+cos^82x\ge\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(sin^22x=cos^22x=\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow sin^22x.cos^22x=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow sin^24x=1\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}\\x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy...

22 tháng 8 2021

Có \(sin^23x\le1;sin^2x\le1;sin3x\ge-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4sin^23x.sin^2x\le4\\6+2sin3x\ge6+2.-1=4\end{matrix}\right.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}sin^23x=1\\sin^2x=1\\sin3x=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sin3x=1\\cos^2x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

Vậy...

22 tháng 8 2021

giỏi quá ta :>

24 tháng 8 2021

1.

\(sin^3x+cos^3x\le sin^2x+cos^2x=1\)

\(2-sin^4x\ge1\Leftrightarrow sin^4x\le1\)

\(\Rightarrow sin^3x+cos^3x\le2-sin^4x\)

Đẳng thức xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}sin^3x+cos^3x=1\\sin^4x=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)

24 tháng 8 2021

2.

\(\left(sinx+\sqrt{3}cosx\right)sin3x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{2}sinx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cosx\right)sin3x=1\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)sin3x=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\)

Ta có:

\(cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)\ge-1\Rightarrow-cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)\le1\)

\(cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\le1\)

\(\Rightarrow cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)\le1-\left(-1\right)=2\)

Đẳng thức xảy ra khi: 

\(\left\{{}\begin{matrix}cos\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\\cos\left(4x+\dfrac{\pi}{3}\right)=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-\dfrac{\pi}{3}=k2\pi\\4x+\dfrac{\pi}{3}=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\)

NV
15 tháng 3 2022

Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  \(\left(-1;0\right)\) với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

NV
15 tháng 3 2022

b.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-4< 0\) 

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)

 \(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m