Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=1\\my+z=1\\x+mz=1\end{matrix}\right.\). Tìm m để pt có nghiệm duy nhất
Nhân 2 vế của pt thứ 2 với m rồi trừ đi pt thứ 3 ta được
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+y=1\\-x+m^2y=m-1\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
\(m^3+1\ne0\Rightarrow m\ne-1\)
1.
\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1+2m=0\)
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)
\(\Rightarrow t^2-1-2mt+2m=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)-2m\left(t-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1-2m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\left(loại\right)\\t=2m-1\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1\ge2\\2m-1\le-2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{3}{2}\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
2.
Cộng vế với vế: \(3\left|x\right|=3\Rightarrow\left|x\right|=1\)
\(\Rightarrow\left|y\right|=-1< 0\) (không thỏa mãn)
Vậy hệ pt vô nghiệm
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:
\(t^2-3m.t+m=0\) (1)
Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:
TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)
\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)
TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)
\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)
2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)
Ko tồn tại m thỏa mãn
Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?
\(1.\left(x\ne\pm1\right)\Rightarrow pt\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-1\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\left(m+1\right)+m=x^2-x-2\)
\(\Leftrightarrow-x\left(m+1\right)+m=-x-2\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{m+2}{m}\left(m\ne0\right)\)
\(pt-có-ngo-duy-nhất\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+2}{m}\ne1\\\dfrac{m+2}{m}\ne-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m\ne-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(2.\left\{{}\begin{matrix}x^2+8y^2=12\left(1\right)\\x^3+2xy^2+12y=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^3+2xy^2+y\left(x^2+8y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(x^2-xy+4y^2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2y\left(3\right)\\x^2-xy+4y^2=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}y^2=0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(3\right)\left(1\right)\Rightarrow4y^2+8y^2=12\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-2\\y=-1\Rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)
với \(x=y=0\) không là nghiệm của hệ pt
với \(x=y\ne0\Rightarrow\left(4\right)>0\Rightarrow\left(4\right)-vô-nghiệm\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left\{\left(-2;1\right);\left(2;-1\right)\right\}\)
\(1,\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-1\right)=x^2-x-2\\ \Leftrightarrow x^2-x-mx+m-x^2+x+2=0\\ \Leftrightarrow mx=m+2\)
PT có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m\ne0\)
\(2,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2y+8y^3=12y\\x^3+2xy^2+12y=0\end{matrix}\right.\)
Thế \(PT\left(1\right)\rightarrow PT\left(2\right)\Leftrightarrow x^3+2xy^2+x^2y+8y^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)+xy\left(x+2y\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(x^2-xy+4y^2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2y\\\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{15}{4}y^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2y\\\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}y=0\\y^2=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2y\\x=y=0\end{matrix}\right.\)
Thay \(x=y=0\Leftrightarrow0+0=12\left(loại\right)\)
Thay \(x=-2y\Leftrightarrow4y^2+8y^2=12y^2=12\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=-2\\y=-1\Rightarrow x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-2;1\right);\left(2;-1\right)\right\}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2y^2=3\\x+y=m+1\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left[\left(m+1\right)-y\right]^2+2y^2=3\\x=\left(m+1\right)-y\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m+1\right)^2-2\left(m+1\right)y+y^2+2y^2=3\left(1\right)\\x=\left(m+1\right)-y\end{matrix}\right.\)
Hệ PT có nghiệm duy nhất <=> (1) có nghiệm duy nhất <=>\(\Delta'=0\)
<=> \(\left(m+1\right)^2-3\left[\left(m+1\right)^2-3\right]=0\)
<=> \(9-2\left(m+1\right)^2=0\)
<=> \(\left(m+1\right)^2=\dfrac{9}{2}\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}m+1=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\\m+1=-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3\sqrt{2}-2}{2}\\m=\dfrac{-3\sqrt{2}-2}{2}\end{matrix}\right.\)