Question

[Minh Triều]

GPT:

a) \(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{5x}\)

b) \(\sqrt[3]{x-7}+\sqrt[3]{x-3}=6\sqrt[6]{\left(x-7\right)\left(x-3\right)}\)

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Hai bạn học cùng lớp hay sao mà câu hỏi như nhau?

a)  Đặt \(a=\sqrt[3]{x+1},b=\sqrt[3]{x-1}\)    thì \(a+b=\sqrt[3]{5x}\). Lập phương hai vế cho ta 

\(5x=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=2x+3\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\sqrt[3]{5x}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{5x\left(x^2-1\right)}\Leftrightarrow x^3=5x\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow x=0\)  hoặc \(x^2=5\left(x^2-1\right)\).

Từ đây ta được nghiệm \(x=0,\frac{\pm\sqrt{5}}{2}\). 

b)  Đặt \(a=\sqrt[3]{x-7},b=\sqrt[3]{x-3}\)  thì \(a+b=6\sqrt{ab}\). Điều kiện \(ab\ge0.\) Ta chia ra hai trường hợp

 Trường hợp 1.  Nếu \(x\ge7\)  thì \(a,b\ge0\).  Chia

cả hai vế cho b, ta được \(\frac{a}{b}=3\pm2\sqrt{2}\) suy ra  \(\frac{\sqrt[3]{x-7}}{\sqrt[3]{x-3}}=3-2\sqrt{2}\)  (Nghiệm \(3+2\sqrt{2}>1>\frac{a}{b}\)).  Từ đó ta được \(x-7=\left(3-2\sqrt{2}\right)^2\left(x-3\right)\Leftrightarrow x-7=\left(17-12\sqrt{2}\right)\left(x-3\right)\Leftrightarrow x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\) (thỏa mãn)

Trường hợp 2. Nếu \(x\le3\)  thì \(a,b\le0.\) Chia cả hai vế cho b ta được \(\frac{a}{b}=-3\pm2\sqrt{2}\). Từ đó loại nghiệm vì a/b dương. 

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất  \(x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\)