Question

[NGUYỄN DOÃN ANH THÁI]

giải phương trình nghiệm nguyên: \(x^2+xy+y^2=x^2y^2\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

x²+xy+y²=x²y²

\(\Leftrightarrow\left(y^2-1\right)x^2-xy-y^2=0\)(*)

Xét \(y^2=1\Leftrightarrow y=\pm1\)

• Với \(y=1\)thay vào (*) ta có: \(x=-1\)
• Với \(y=-1\)thay vào (*) ta có: \(x=1\)

Xét \(y\ne\pm1\) ta có: \(\Delta=y^2\left(4y^2-3\right)\)  là 1 số chính phương

Đặt \(\left(2y\right)^2-3=n^2\left(n\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2y\right)^2-n^2=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|2y\right|-n\right)\left(\left|2y\right|+n\right)=3\)

Vì \(\left(\left|2y\right|+n\right)\in N;\left(\left|2y\right|-n\right)\in N\)\(\Rightarrow2y+n\ge\left|2y\right|-n\)

Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}\left|2y\right|+n=3\\\left|2y\right|-n=1\end{cases}}\Leftrightarrow\left|2y\right|=2\Leftrightarrow y=\pm1\)

Không thỏa mãn vì \(y\ne\pm1\)

Vậy ta có nghiệm của pt \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(-1;-1\right);\left(-1;1\right)\right\}\)