Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài b nhé bạn!
\(\hept{\begin{cases}\frac{xyz}{x+y}=2\\\frac{xyz}{y+z}=\frac{6}{5}\\\frac{xyz}{x+z}=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{x+z}{xyz}=\frac{2}{3}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}}{2}=1\)
Trừ lại từng phương trình trong hệ:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{yz}=\frac{1}{6}\\\frac{1}{xz}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\xz=3\end{cases}\Rightarrow xyz=\sqrt{2.6.3}=6}\)
Chia lại từng phương trình trong hệ mới, được:
\(\hept{\begin{cases}z=3\\x=1\\y=2\end{cases}}\)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;3\right)\)
Xong rồi đó!!!
\(\hept{\begin{cases}\frac{x+y}{xyz}=\frac{1}{2}\\\frac{y+z}{xyz}=\frac{5}{6}\\\frac{z+x}{xyz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=2\\yz=6\\zx=3\end{cases}}\)
Làm nốt
Giải hệ phương trình: \(\hept{\begin{cases}2\left(y+z\right)=yz\\xy+yz+zx=108\\xyz=180\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}2\left(y+z\right)=yz\left(1\right)\\xy+yz+zx=108\left(2\right)\\xyz=180\left(3\right)\end{cases}}\)
Thay (1) vào (3) được
\(\text{2x(y+z)=180}\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+xz\right)=180\)
\(\Leftrightarrow xy+xz=90\)
Thay vào (2) ==> yz = 18
Thay yz vào (3) => x = 10
Đến đây thì dễ r. Tự giải nốt nha!
Sửa lại bài bạn ở trên:
Ta có: x4 + y4 + z4 \(\ge\)(xy)2 + (yz)2 + (zx)2
\(\ge\)xzy2 + xyz2 + yzx2 = xyz(x + y + z) = xyz
Dấu = xảy ra khi x = y = z
Kết hợp với x + y + z = 1
\(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
đề => \(x^4+y^4+z^4=xyz\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)
ta có bđt \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
áp dụng ta được \(\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge xy.yz+xy.zx+yz.xz=xyz\left(x+y+z\right)\)
dấu "=" xảy ra <=> x=y=z
mà x+y+z=1
=>x=y=z=1/3
(nếu cần cm bđt phụ thì nói mình nha)
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^4+y^4+z^4=xyz\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^4+y^4+z^4=xyz.\left(x+y+z\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)TA CÓ :
\(x^4+y^4+z^4=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=\ge xy.yz+yz.zx+zx.xy\)\(=xyz.\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\)\(x=y=z\)
Mà \(x+y+z=1\)\(\Rightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)\)
Xét phương trình đầu ta có:
\(\frac{3}{xyz}=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\Leftrightarrow xyz.\sqrt[3]{xyz}\le1\)
\(\Leftrightarrow xyz\le1\)(1)
Xét phương trình 2 ta có
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{xyz}+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow9=\frac{1}{xyz}+\frac{1}{xyz}+\frac{1}{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\ge9\sqrt[9]{\frac{1}{xyz}}\)
\(\Rightarrow1\ge\sqrt[9]{\frac{1}{xyz}}\)
\(\Leftrightarrow xyz\ge1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra xyz = 1
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
