Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
tb. Kéo dài BH cắt AC tại K
Vì H là điểm đối xứng của M qua BC (gt) => BC là đường trung trực của HM (định nghĩa đối xứng trục) => BH = BM (định lý thuận) => \(\Delta BHM\)cân tại B (định nghĩa) => BC là đường phân giác của \(\widehat{HBM}\)(định lý 1) => \(\widehat{CBM}=\widehat{CBH}\)\(=\widehat{CBK}\)(1)
Xét đường tròn (O) có: \(\widehat{CBM}=\widehat{CAM}(=\frac{1}{2}sđ\widebat{CM})\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{CBK}=\widehat{CAM}=\widehat{CAD}\)(do A,D,M => \(\widehat{CAM}=\widehat{CAD}\)) (3)
Xét \(\Delta ACD\)có: \(\widehat{ACD}+\widehat{CAD}=90^o\)hay \(\widehat{KCB}+\widehat{CAD}=90^o\)(do A,K,C và B,D,C => \(\widehat{ACD}=\widehat{KCB}\)) (4)
Thay (3) vào (4) => \(\widehat{CBK}+\widehat{KCB}=90^o\)
Mà trong \(\Delta BCK\)thì : \(\widehat{CBK}+\widehat{KCB}+\widehat{BKC}=180^o\Rightarrow\widehat{BKC}=90^o\Rightarrow BK\perp AC\)=> BK là đường cao của \(\Delta ABC\)
Lại có H là giao điểm của AD và BK => H là trực tâm của \(\Delta ABC\)(đpcm)
c. Vì tứ giác BDME là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{MED}=\widehat{MBD}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MD}\right)\)= \(\widehat{MBC}\)(do B,D,C ) = \(\widehat{MAC}\)= \(\widehat{MAF}\)(do A,F,C )(5)
Tứ giác AEMF có: \(\widehat{AEM}+\widehat{AFM}=90^o+90^o=180^o\)(do ME\(\perp AB\)tại E (gt) => \(\widehat{AEM}=90^o\)và MF \(\perp AC\)tại F (gt) => \(\widehat{AFM}=90^o\))
=> Tứ giác AEMF là tứ giác nội tiếp( Dhnb) => \(\widehat{MEF}=\widehat{MAF}\)(cùng = \(\frac{1}{2}sđ\widebat{MF}\)) (6)
Từ (5) và (6) => \(\widehat{MED}=\widehat{MEF}\Rightarrow\)3 điểm E, D, F thẳng hàng (2 góc cùng số đo, có 1 cạnh chung, 2 cạnh còn lại nằm về 1 phía so với cạnh chung thì 2 cạnh còn lại trùng nhau) => Đpcm
a) Ta có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90độ\)(gt)
Nên tứ giác BNMC nội tiếp (2 đỉnh N,M cùng BC với 2 góc bằng nhau)
(Câu sau không rõ. Cái gì là tâm đường tròn nội tiếp ΔMNH?)
b) Xét ΔAMN và ΔABC có:
\(\widehat{BAC}\)chung
\(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(tứ giác BNMC nội tiếp)
Do đó ΔAMN ~ ΔABC
Nên\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
hay AM.AC=AN.AB
Ta có \(\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90độ\left(gt\right)\)
Nên \(\widehat{ANH}+\widehat{AMH}=180độ\)
Suy ra tứ giác ANHM nội tiếp
Do đó \(\widehat{NAM}+\widehat{NHM}=180độ\)
Mà \(\widehat{NHM}=\widehat{BHC}\)(đối đỉnh)
\(\widehat{BHC}=\widehat{BLC}\)(tính chất đối xứng trục)
Nên \(\widehat{NAM}+\widehat{BLC}=180độ\)
Suy ra tứ giác ABLC nội tiếp đường tròn (O) (tổng 2 góc đối bằng 180độ)
c) (Câu này hình như bạn ghi sai đề rồi, nếu I là giao điểm AH với AN thì I sẽ trùng với A. Nên mình nghĩ I là giao điểm MN với AH)
Ta có \(\widehat{HDC}=\widehat{HMC}=90độ\left(gt\right)\)
Nên \(\widehat{HDC+}\widehat{HMC}=180độ\)
Do đó tứ giác HMCD nội tiếp
Suy ra \(\widehat{HMD}=\widehat{HCD}\)
Mà \(\widehat{HCD}=\widehat{HMN}\)(tứ giác BMNC nội tiếp)
Nên \(\widehat{HMD}=\widehat{HMN}\)
Vậy MH là phân giác \(\widehat{NMD}\)
Mà MH vuông góc AM (gt)
Nên AM là phân giác ngoài
Do đó \(\frac{IH}{ID}=\frac{AH}{AD}\)
hay IH.AD=AH.ID
a.Ta có :
ˆAFH=ˆADB=90o→ΔAFH∼ΔADB(g.g)
→AFAD=AHAB→AF.AB=AH.AD
Tương tự AH.AD=AE.AC→AF.AB=AE.AC
b.Ta có :
ˆHFA=ˆHEA=ˆHFB=ˆHDB=90o
→AEHF,AEDB,FHDB nội tiếp
→ˆHFE=ˆFAE=ˆHBD=ˆHFD
→FH là phân giác ˆDFE
Mà FA⊥FH→FA là phân giác góc ngoài tại đỉnh F của ΔDEF
→HIHD=FIFD=AIAD
→IH.AD=AI.DH
giúp với
a, A,H,O thẳng hàng vì AH,AO cùng vuông góc với BC
HS tự chứng minh A,B,C,O cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b, Ta có K D C ^ = A O D ^ (cùng phụ với góc O B C ^ )
=> ∆KDC:∆COA (g.g) => AC.CD = CK.AO
c, Ta có: M B A ^ = 90 0 - O B M ^ và M B C ^ = 90 0 - O M B ^
Mà O M B ^ = O B M ^ (∆OBM cân) => M B A ^ = M B C ^
=> MB là phân giác A B C ^ . Mặt khác AM là phân giác B A C ^
Từ đó suy ra M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d, Kẻ CD ∩ AC = P. Chứng minh ∆ACP cân tại A
=> CA = AB = AP => A là trung điểm CK
a. Ta thấy ngay \(\widehat{IAB}=\widehat{ICA}\) (Cùng chắn cung AB)
Vậy thì \(\Delta AIB\sim\Delta CIA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IA}{IC}=\frac{IB}{IA}\Rightarrow IB.IB=IA^2=a^2\)
Vậy IB.IC không đổi.
b.Ta thấy CI vừa là đường cao, vừa là trung tuyến nên tam giác CAD cân tại C. Vậy \(\widehat{CDA}=\widehat{CAD}\)
Gọi E là giao điểm của AB và CD. Ta có \(\widehat{DAE}=\widehat{ACI}\left(cmt\right)\) nên ta có:
\(\widehat{DAE}+\widehat{EDA}=\widehat{ACI}+\widehat{IAC}=90^o\Rightarrow\widehat{AED}=180^o-90^o=90^o.\)
Vậy AE là đường cao tam giác ADC. Vậy B là trực tâm của tam giác này.
Xét tam giác ABC có: \(CD⊥AB;AD⊥BC;BD⊥AC\), suy ra D là trực tâm của tam giác.
c) Do D' đối xứng với D qua AC nên \(\widehat{D'CA}=\widehat{DCA}\)
Lại có \(\widehat{DCA}=\widehat{DBE}\) (Cùng phụ góc BDC)
Mà \(\widehat{DBE}=\widehat{ABD'}\) (Đối đỉnh) nên \(\widehat{ABD'}=\widehat{D'CA}\)
Xét tứ giác D'CBA có \(\widehat{ABD'}=\widehat{D'CA}\) nên nó là tứ giác nội tiếp. Vậy D thuộc đường tròn qua A, B, C hay thuộc đường tròn (O).