Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(1) “Với mọi số tự nhiên \(x,\,\,\sqrt x \) là số vô tỉ” sai, chẳng hạn \(x = 1:\;\sqrt x = 1\) không là số vô tỉ.
(2) “Bình phương của mọi số thực đều không âm” đúng;
(3) “Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0” đúng, số nguyên đó chính là số 0;
(4) “Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0” sai, vì chỉ khi \(n = \frac{1}{2}\) thì 2n – 1 = 0 nhưng \(\frac{1}{2}\) không phải là số tự nhiên.
Giả sử \(\sqrt{3}\) là một số hữu tỉ thì tồn tại hai số nguyên m và n sao cho:
\(\dfrac{m}{n}=\sqrt{3}\left(1\right)\)
với \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản hay m và n có ước chung lớn nhất bằng 1
Khi đó từ \(\left(1\right)\Leftrightarrow m=n\sqrt{3}\Leftrightarrow m^2=3n^2\left(2\right)\)
Từ đó suy ra \(m^2\) chia hết cho 3 nên m phải chia hết cho 3\(\left(3\right)\)
Do đó tồn tại số nguyên k sao cho \(m=3k\) Thay vào \(\left(2\right)\) ta có thể suy ra \(n^2=3k^2\) hay \(n=\sqrt{3}k\)
Do k là số nguyên nên suy ra n không nguyên.
Từ đây suy ra giả sử ban đầu là sai, tức là không có cặp số m,n nguyên nào để \(\dfrac{m}{n}=\sqrt{3}\) Vậy \(\sqrt{3}\) không là số hữu tỉ \(\left(\sqrt{3}\notin Q\right)\)
Giả sử căn 3 không phải số vô tỉ suy ra:
tồn tại số m và n sao cho căn 3 = m/n (m,n là nguyên tố cùng nhau)
khi đó 3n^2 = m^2
=> m chia hết 3, đặt m=3p ( p là số nguyên)
thay m = 3p ta có
3n^2 = 9p^2
n^2 = 3p^2
=> n chia hết cho 3
=> m và n cùng chia hết cho 3
mâu thuẫn với giả thiết ban đầu , m/n tối giản , m,n là nguyên tố cùng nhau
=> căn 3 là số vô tỉ
Cho a, b là các số hữu tỉ khác 0 và n ∈ N*. Chứng minh rằng:
A=\(a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}\) là số vô tỉ
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử \(A=a\sqrt{n}+b\sqrt{n+1}\in\mathbb{Q}\)
Bình phương 2 vế:
\(\Rightarrow a^2n+b^2(n+1)+2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2\)
\(\Rightarrow 2ab\sqrt{n(n+1)}=A^2-a^2n-b^2(n+1)\in\mathbb{Q}\)
Mà \(2ab\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\)
Do \(n\in\mathbb{N}^*\Rightarrow n(n+1)\in\mathbb{N}^*\). Suy ra, để \(\sqrt{n(n+1)}\in\mathbb{Q}\) thì nó phải có dạng \(t\) (\(t\in\mathbb{N})\)
Ta có:
\(\sqrt{n(n+1)}=t\)
\(\Rightarrow n(n+1)=t^2\)
\(\Rightarrow 4n(n+1)=(2t)^2\Rightarrow (2n+1)^2=(2t)^2+1\)
\(\Leftrightarrow (2n+1-2t)(2n+1+2t)=1\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1-2t=1\\ 2n+1+2t=1\end{matrix}\right.\rightarrow n=0\) (vô lý do \(n\in\mathbb{N}^*\) )
Vậy giả sử là sai. Do đó \(A\not\in\mathbb{Q}\) hay A vô tỉ.
=> n chia 3 dư a (0<a <3)
=> n = 3b +a
=> n^2 = 9b^2 + 6ab + a^2 chia hết cho 3
=> a^2 chia hết cho3 mà 0<a <3
=> vô lý do ko có số nào thỏa mãn
=> giả sử sai
=> n^2 chia hết cho 3 <=> n chia hết cho 3b:
c:Giả sử: n^2 là số lẻ và n là số chẵnVì n chẵn => n = 2k(k thuộc N*)
=>n^2 = 4k^2
=>n^2 là số chẵn(trái với giả thiết)
Vậy khi n^2 là số lè thì n là số lẻ