Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với n = 2 thì \(\frac{1}{1}+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\)
Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k
=> \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}>\sqrt{K}\)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\sqrt{K}}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}>\sqrt{K}+\frac{1}{\sqrt{K+1}}\)
= \(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}\)
Mà ta lại có
\(\frac{1+\sqrt{K^2+K}}{\sqrt{K+1}}-\sqrt{K+1}\)
= \(\frac{\sqrt{K^2+K}-K}{\sqrt{K+1}}>0\)
Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1
=> Điều phải chứng minh
Ta có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{n}};\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{n}};...\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n}}.n=\sqrt{n}\)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(\Rightarrow S>1+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(\Rightarrow S>1+2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{2}\right)\)
Với \(n\ge98\Rightarrow S>1+2\left(\sqrt{99}-\sqrt{2}\right)\)
Ta sẽ chứng minh \(1+2\left(\sqrt{99}-\sqrt{2}\right)>18\Leftrightarrow\sqrt{99}-\sqrt{2}>\frac{17}{2}\)
\(\Leftrightarrow101-2\sqrt{198}>\frac{298}{4}\Leftrightarrow\sqrt{198}< \frac{115}{8}\)
\(\Leftrightarrow198< \frac{13225}{64}\) (đúng vì \(\frac{13225}{64}>\frac{12800}{64}=200>198\))
Khi \(n=98\Rightarrow S>18\) theo cmt
Mặt khác: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{98}-\sqrt{97}\right)\)
\(\Rightarrow S< 1+2\left(\sqrt{98}-1\right)=2\sqrt{98}-1< 2\sqrt{100}-1=19\)
\(\Rightarrow18< S< 19\Rightarrow S\) nằm giữa 2 STN liên tiếp nên ko thể là STN