![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì đây là 7 số liên tiếp
nên A chia hết cho 7!
=>A chia hết cho 210
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
sử dụng phương pháp quy nạp
*với n=1 thì 2 chia hết cho2
*với n=2 thì 3*4=12 chia hết cho 4
thử đúng đến n=k cần cm n=k+
ta có (k+1)(k+2)(k+3).....(k+k-1)(k+k)chia hết cho 2k
n=k+1 biểu thức có dạng (k+1+1)(k+1+2)....(k+1+k)(k+1+k+1)
=2(k+1)(k+2)(k+3)....(k+k-1)(k+k)(k+k+1)chia hết cho2k*2=2k+1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: n^2 + n + 2 = n(n+1) + 2.
n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên liên tiếp nên có chữ số tận cùng là 0; 2; 6.
Suy ra: n(n+1)+2 có chữ số tận cùng là 2; 4; 8.
Mà: 2; 4; 8 không chia hết cho 5.
Nên: n(n+1)+2 không chia hết cho 5.
Vậy: n^2 + n+2 không chia hết cho 15 với mọi n thuộc N
Ta có: n2+n+2=n(n+1)+2
Để số trên chia hết cho 15 thì số trên phải chia hết cho 3 và 5.
Mà tích của 2 số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 0,2,6.
Mà số trên cộng với 2 có tận cùng sẽ là 2,4,8. ( không chia hết cho 5).
Vậy số trên không chia hết cho 15.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
a) Phản chứng. Giả sử tồn tại \( n\in\mathbb{N}|n^2+7n-40\vdots 121\)
\(\Rightarrow n^2+7n-40\vdots 11\)
\(\Leftrightarrow n^2-4n+4+11n-44\vdots 11\)
\(\Leftrightarrow n^2-4n+4=(n-2)^2\vdots 11\)
\(\Leftrightarrow n-2\vdots 11\) (vì \(11\in\mathbb{P}\) )
Do đó, đặt \(n=11k+2\)
Ta có, \(n^2+7n-40\vdots 121\)
\(\Leftrightarrow (11k+2)^2+7(11k+2)-40\vdots 121\)
\(\Leftrightarrow 121k^2+121k-22\vdots 121\)
\(\Leftrightarrow 22\vdots 121\) (vô lý)
Do đó, điểu giả sử là sai, nghĩa là không tồn tại bất kỳ số tự nhiên nào thỏa mãn \(n^2+7n-40\vdots 121\)
Hay \(n^2+7n-40\not\vdots 121\) (đpcm)
Lời giải:
b) Giả sử phản chứng, nghĩa là
\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)
Thực hiện khai triển bằng hằng đẳng thức, ta có:
\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\)
\(=5a^2+20a+30\)
Khi đó:
\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)
\(\Leftrightarrow 5a^2+20a+30\vdots 25\)
\(\Leftrightarrow a^2+4a+6\vdots 5\)
Xét \(a\equiv 0\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 6\not\equiv 0\pmod 5\)
Xét \(a\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 1+4+6\not\equiv 0\pmod 5\)
Xét \(a\equiv 2\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 18\not\equiv 0\pmod 5\)
Xét \(a\equiv 3\pmod {5}\rightarrow a^2+4a+6=27\not\equiv 0\pmod {5}\)
Xét \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2+4a+6\equiv 38\not\equiv 0\pmod 5\)
Do đo, \(a^2+4a+6\not\vdots 5\), nghĩa là điều giả sử là sai. Ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A_n=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{\left(2n+1\right)\left(2n-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\)
\(< \dfrac{\sqrt{2n-1}}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\)
\(\Rightarrow A_1+A_2+...+A_n< 1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}-\dfrac{1}{\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}=1-\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}< 1\)
n4 - n2 = n2(n2 - 1) = n2(n - 1)(n + 1)
Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp => có ít nhất 1 số chia hết cho 3 => (n - 1)n(n + 1) ⋮ 3 => n2(n - 1)(n + 1) ⋮ 3 (1)
Vì n, n - 1, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp => có ít nhất một số chia hết cho 2.
Giả sử số chia hết cho 2 đó là n - 1 => n + 1 cũng chia hết cho 2 => (n -1)(n + 1) ⋮ 4 => n2(n - 1)(n + 1) ⋮ 4
Nếu số chia hết cho 2 đó là n + 1, lập luận tương tự ta cũng có n2(n - 1)(n + 1) ⋮ 4
Nếu n ⋮ 2 => n2 ⋮ 4 => n2(n - 1)(n + 1) ⋮ 4
Như vậy n2(n - 1)(n + 1) ⋮ 4 (2)
Từ (1) và (2) => n4 - n2 ⋮ 3 và 4 mà ƯCLN(3;4) = 1
=> n4 - n2 ⋮ 12