K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LH
1
18 tháng 11 2019
\(a+b+c=abc\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)
Ta có:
\(\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}=\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\ge1\)
để ý \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) nha mọi người:)
T
0
DD
1
6 tháng 6 2017
Ta có :
Giả thuyết : a + b + c = 0
(a + b + c)3 = 0
a3 + b3 + c3 + 3.(a + b)(b + c)(c + a) = 0
Từ a + b + c = 0
=> \(\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}}\)
=> a3 + b3 + c3 + 3.(-c)(-a)(-b) = 0
=> a3 + b3 + c3 = 3abc
HN
9 tháng 7 2018
Áp dụng bđt cô si dạng engel cho 3 số dương:
\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = c
Chúc bạn học tốt!
HD
1
6 tháng 5 2016
a+b+c=0
a+b=-c
(a+b)^3=(-c)^3
a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(-c)^3
a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2
a^3+b^3+c^3=-3ab(-c)
a^3+b^3+c^3=3abc
KN
2
1 tháng 6 2019
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-\left(3a^2b+3ab^2+3abc\right)\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)\(\left(đpcm\right)\)
1 tháng 6 2019
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
TP
6
26 tháng 3 2018
đặt: x = b + c - a > 0
y = a + c - b > 0
z = a + b - c > 0
\(\Rightarrow a=\frac{\left(y+z\right)}{2}\)
\(b=\frac{\left(x+z\right)}{2}\)
\(c=\frac{\left(x+y\right)}{2}\)
\(A=\frac{a}{\left(b+c-a\right)}+\frac{b}{\left(a+c-b\right)}+\frac{c}{\left(a+b-c\right)}\)
\(A=\frac{\left(y+z\right)}{\left(2x\right)}+\frac{\left(x+z\right)}{\left(2y\right)}+\frac{\left(x+y\right)}{\left(2z\right)}\)
\(A=\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)
áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
Cộng các BĐT trên, ta được:
\(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\ge6\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{2}.3=6\)(đpcm).
FT
1
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(a^3+b^3+c^3\ge3.\sqrt[3]{\left(a^3.b^3.c^3\right)}\ge3abc\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dương ta luôn có:
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
Đặt \(a^3=x,b^3=y,c^3=z\). Ta có:
\(x+y+z=a^3+b^3+c^3=3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}\)
\(\ge3abc^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c