![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a^2+b^2+ab+2=a^2+2.\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{3b^2}{4}+2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}+2\)
Do : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2\ge0\\\dfrac{3b^2}{4}\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}+2>0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\)
Ta sẽ cm \(\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow (a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{[3+2(ab+bc+ac)]^3}\geq 9(ab+bc+ac)\)
Đặt \(\sqrt{3+2(ab+bc+ac)}=t\) thì dễ thấy $0< t\leq 3$
Khi đó:
\((a+b+c)^3\geq 9(ab+bc+ac)\Leftrightarrow t^3\geq 9.\frac{t^2-3}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2t^3-9t^2+27\geq 0\)
$\Leftrightarrow (t-3)^2(2t+3)\geq 0$. Luôn đúng với mọi $t>0$
Vậy ta có đpcm
Dấu "=' xảy ra khi $a=b=c=1$