Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x2+y2+z2+3> hoac = 2(x+y+z)
\(x^2+y^2+z^2+3-2\left(x+y+z\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)(Đpcm)
Dấu = khi (x-1)2=(y-1)2=(z-1)2=0 =>x=y=z=1
Ta có : \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\). Dấu "=" xảy ra khi x = y
Đây là bất đăngt thức Bunyakovsky.
Chứng minh:
(a2+b2) (x2+y2)>=(ax+by)2
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(ax+by\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2aybx+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)
BĐT này luôn đúng, ta có điều phải chứng minh
a: \(=x^2-x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
b: \(=x^2+2x-8\)
\(=x^2+2x+1-9=\left(x+1\right)^2-9>=-9\)
Xét hiệu: \(x^5+y^5-x^4y-xy^4=x^4\left(x-y\right)-y^4\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^4-y^4\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)≥ 0. Dấu "=" xảy ra khi x=y
Vậy x5+y5 ≥ x4y+xy4. Dấu "=" xảy ra khi x=y
1)\(x^2+6x+13=x^2+6x+9+4=\left(x+3\right)^2+4\)
Do \(\left(x+3\right)^2\ge0\)với mọi x
Nên \(\left(x+3\right)^2+4\ge4>0\)với mọi x
Hay \(x^2+6x+13>0\)với mọi x
2/ Ta có: x2 + 6x + 13 = x2 + 2.3x + 9 +4 = ( x + 3)2 + 4
Ta có: (x+3)2 >0 (với mọi x)
Nên (x+3)2 + 4 \(\ge\)4 >0.
3/ Ta có: - x2+6x-11 = - (x2-6x+11) = - (x2-2.3x+9+2) = - (x-3)2-2
Ta có: (x-3)2>0 với mọi x
Nên - (x-3)2<0 với mọi x
Suy ra - (x-3)2-2 \(\le\)- 2 <0
4/ Ta có: x - y = 5
Suy ra (x - y)2 = 25
\(\Leftrightarrow\) x2 - 2xy + y2 = 25
\(\Leftrightarrow\)x2 - 2.24 + y2 = 25
\(\Leftrightarrow\) x2 + y2 = 73
Ta có: x3 - y3 = (x - y).(x2 + xy + y2 ) = 5.(73 + 24) =485
4x(x+y)(x+y+z)(x+z) + y^2.z^2
= 4(x^2 + xy + xz)( x^2 + xy + xz + yz) + y^2.z^2
Đặt x^2 + yz + xz = t
=> 4x(x+y)(x+y+z)(x+z) + y^2.z^2 = 4t( t + yz) + y^2.z^2 = 4t^2 + 4tyz +y^2.z^2 = ( 2t + yz)^2 \(\ge\)0(ĐPCM)
Vậy 4t^2 + 4tyz +y^2.z^2 = ( 2t + yz)^2 \(\ge\)0 với moji x,y,z
Ta có: (x+y)2>=4xy
\(\Leftrightarrow\)(x+y)2-4xy>=0
\(\Leftrightarrow\)x2+2xy+y2-4xy>=0
\(\Leftrightarrow\)x2-2xy+y2>=0
\(\Leftrightarrow\)(x-y)2>=0 (luôn đúng với mọi x)