![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài 1:
Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)
\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)
\(=6n⋮6\)
1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)
2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a,25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^{n-1}\cdot25\cdot24=25^{n-1}\cdot100\cdot6⋮100,\forall n\)
\(b,n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)⋮6,\forall n\)(vì là 3 số nguyên liên tiếp)
a) \(25^{n+1}-25^n=25^n\left(25-1\right)=25^n.24=25^{n-1}.6.4.25=25^{n-1}.6.100⋮100\forall n\in N\)
b) \(n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)=n^3-3n^2+2n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\)
là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3
\(\Rightarrow n^2\left(n-1\right)-2n\left(n-1\right)⋮2.3=6\forall n\in Z\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(a^3+5a=a\left(a^2+5\right)=a\left[\left(a^2-1\right)+6\right]=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+6a\)
Dễ thấy a(a-1)(a+1) chia hết cho 6 vì là tích của ba số nguyên liên tiếp. Lại có 6a luôn chia hết cho 6
=> đpcm
a3 + 5a = a.a.a + 5a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
Ta có a (a + 1) (a + 2) (a + 3) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 và 3
Vì chia hết cho 2 và 3 mà ƯCLN (2;3) = 1 là hai số nguyên tố cùng nhau nên chia hết cho 2.3 = 6
Vậy...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{\left(2n+5\right)^2-25}{4}=\frac{\left(2n+5-5\right)\left(2n+5+5\right)}{4}=\frac{2n\left(2n+10\right)}{4}=\frac{4n\left(n+5\right)}{4}\)
=> điều phải chứng minh!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
n^3 - 25n + 60
= n^3 - n - 24n + 60
= n.(n^2 - 1) - 24n + 60
= n.(n - 1).(n + 1) - 24n + 60
Vì n.(n - 1).(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1 => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 6
Lại có: -24n + 60 chia hết cho 6
Do đó, n^3 - 25n + 60 chia hết cho 6 (đpcm)
\(n^3-n\)
= \(n.n.n-1.n\)
= \(n.\left(n^2-1^2\right)\)
= n.(n+1).(n-1)
Ta thấy n.(n+1).(n-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và chia hết cho 3 và (2;3) = 1 mà 2.3 = 6
Vậy n^3 - n chia hết cho 6 với mọi số nguyên x