Câu hỏi của Nguyễn Đình Thành

Question

Cm: a)a4+b4+c4=abc(a+b+c)

b)a8+b8+c8$\ge$ a2b2c2(ab + bc + ca)

Phạm Nguyễn Tất Đạt · Accepted Answer

a)AM-GM:

$a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot a^4\cdot b^4\cdot c^4}=4a^2bc$

$a^4+b^4+b^4+c^4\ge4ab^2c$

$a^4+b^4+c^4+c^4\ge4abc^2$

Cộng vế theo vế ta được:

4$\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4a^2bc+4ab^2c+4abc^2$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge abc\left(a+b+c\right)$Câu trả lời: a)AM-GM:

$a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot a^4\cdot b^4\cdot c^4}=4a^2bc$

$a^4+b^4+b^4+c^4\ge4ab^2c$

$a^4+b^4+c^4+c^4\ge4abc^2$

Cộng vế theo vế ta được:

4$\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4a^2bc+4ab^2c+4abc^2$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge abc\left(a+b+c\right)$

Mashiro Shiina · Answer

1 cách khác: $a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

$2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge2\sqrt{a^2b^4c^2}+2\sqrt{b^2a^2c^4}+2\sqrt{a^4b^2c^2}$

$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc=abc\left(a+b+c\right)$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)$

tương tự với câu bCâu trả lời: 1 cách khác: $a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

$2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\ge2\sqrt{a^2b^4c^2}+2\sqrt{b^2a^2c^4}+2\sqrt{a^4b^2c^2}$

$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab^2c+abc^2+a^2bc=abc\left(a+b+c\right)$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)$

tương tự với câu b