BM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
9 tháng 7 2017
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
9 tháng 7 2017
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
DN
1
1 tháng 8 2017
\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\) ( vì \(a+b\ge2\) )
\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+a^3b+b^4\le2a^4+2b^4\)
\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (1)
Ta thấy \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)+\frac{3}{4}b^2+\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall ab\)
Nên (1) luôn đúng với mọi a;b
Vậy \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
13 tháng 7 2017
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
PA
13 tháng 7 2017
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
7 tháng 8 2019
Đặt \(2^a=x;2^b=y;2^c=z\left(x,y,z>0\right)\)
=>\(xyz=2^{a+b+c}=1\)
Khi đó ĐPCM trở thành
\(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
Cosi \(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z\)
=> \(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\)
Mà \(\)\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1=> \(a=b=c=0\)
7 tháng 8 2019
Trần Phúc Khang hình như chỗ \(x+y+z\ge3\)\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\) ngược dấu đó anh
Cần chứng minh: \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
\(x^3+y^3+z^3\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)
Mà \(x+y+z=2^a+2^b+2^c\ge3\sqrt[3]{2^{a+b+c}}=3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\le x^3+y^3+z^3\) đpcm
sai thì mn góp ý ạ
NB
1
7 tháng 8 2019
với mọi số thực a thì \(3^{a^2-4};3^{4a+8}\) đều dương nên Cosi ta đc:
\(3^{a^2-4}+3^{4a+8}\ge2\sqrt{3^{a^2+4a+4}}=2\sqrt{3^{\left(a+2\right)^2}}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=-2\)
9 tháng 7 2019
1)
+) a, b, c là các số nguyên tố lớn hơn 3
=> a, b, c sẽ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2
=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3 (1)
+) a,b,c là các số nguyên tố lớn hơn 3
=> a, b, c là các số lẻ và không chia hết cho 4
=> a,b, c sẽ có dang: 4k+1; 4k+3
=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 4
th1: Cả 3 số chia hết cho 4
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64 (2)
Từ (1); (2) => (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64.3=192 vì (64;3)=1
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
th2: Có 2 số chia hết cho 4, Số còn lại chia hết cho 2
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32 (3)
Từ (1) , (3)
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32.3=96 ( vì (3;32)=1)
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
Th3: chỉ có một số chia hết cho 4, hai số còn lại chia hết cho 2
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16
Vì (16; 3)=1
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16.3=48
Như vậy với a,b,c là số nguyên tố lớn hơn 3
thì (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
16 tháng 7 2020
Mình xài p,q,r nhé :))
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)
\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)
\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )
T
21 tháng 7 2020
\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)
\(=p^3-3pq+3r\)
--------------------------------------
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)
\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)
Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq
L
1
M
1 tháng 1 2018
b) Giả sử:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^4-a^3b-ab^3-b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)+\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) BĐT đúng
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Mà \(a+b\ge2\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge2\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)
Ta có : \(a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3-b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3\right)-\left(a-1\right)+\left(b^4-b^3\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)+b^3\left(b-1\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b^2+b+1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]+\left(b-1\right)^2\left[\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]+a+b-2\ge0\)
(luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh