![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét 2 trường hợp
TH1: n chẵn
Mà 4 chẵn
=> n+4 chẵn chia hết cho 2
=> (n+1)(n+4) chia hết cho 2
TH2: n lẻ => n chia hai dư 1
Mà 1 chia 2 dư 1
=> n+1 chia hết cho 2
=> (n+1)(n+4) chia hết cho 2
Vậy với mọi số nguyên dương n thì (n+1)(n+4) chia hết cho 2 (Đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(N=n^4+4n^3+7n^2+6n+3=\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+3\right)\)
Do \(n\) và \(n+1\) luôn khác tính chẵn lẻ \(\Rightarrow n^2\) và \(n+1\) khác tính chẵn lẻ
\(\Rightarrow n^2+n+1\) luôn lẻ
Gọi \(d=ƯC\left(n^2+n+1;n^2+3n+3\right)\) \(\Rightarrow d\) lẻ
\(\Rightarrow n^2+3n+3-\left(n^2+n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow2\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow n+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^2⋮d\Rightarrow\left(n+1\right)^2-\left(n^2+n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow n⋮d\Rightarrow n+1-n⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow n^2+n+1\) và \(n^2+3n+3\) nguyên tố cùng nhau
Giả sử tồn tại m nguyên dương thỏa mãn: \(\left(n^2+n+1\right)\left(n^2+3n+3\right)=m^3\)
Hiển nhiên \(m>1\), do \(n^2+n+1\) và \(n^2+3n+3\) nguyên tố cùng nhau, đồng thời \(n^2+3n+3>n^2+n+1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2+n+1=1\\n^2+3n+3=m^3\end{matrix}\right.\)
Từ \(n^2+n+1=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-1\\n=0\end{matrix}\right.\) đều ko thỏa mãn n nguyên dương
Vậy N luôn luôn ko là lập phương
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Quy ước của riêng tôi :/ là kí hiệu chia hết
- - - - -- - -
A = 4mn( m² - n² ) = 4mn( m - n )( m + n )
G/S m , n có cùng số dư khi chia hết cho 2
Từ G/S => m - n :/ 2 => 4mn( m - n )( m + n ) :/ 8 (1)
G/S m , n không có cùng số dư khi chia cho 2
=> Một trong hai số phải chia hết cho 2 => mn :/ 2
=> 4mn( m - n )( m + n ) :/ 8 (2)
Từ (1) và (2) => A :/ 8
Ta chứng minh A :/ 3
Nếu một trong hai số m , n có một số chia hết cho 3 => mn :/ 3
=> A = 4mn( m - n )( m + n ) :/ 3 (3)
Nếu trong hai số m , n không có số nào chia hết cho 3
+ m , n có cùng số dư khi chia cho 3 => m - n :/ 3 => A :/ 3
+ m . n không có cùng số dư khi chia cho 3 thỏa mãn không số nào :/ 3 => m + n :/ 3 => A :/ 3
Từ hai G/S trên => A :/ 3
A:/ 3 , A:/ 8 , ( 8 , 3 ) = 1 => A :/ 24