K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 4 2016

Tập xác định \(D=R\backslash\left\{m\right\}\)

Ta có : \(y'=\frac{x^2-2mx+m^2-1}{\left(x-m\right)^2}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0\left(1\right)\left(x\ne m\right)\)

Ta thấy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác m và y' đổi dấu qua 2 nghiệm đó. Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi giá trị của m

25 tháng 3 2016

Xét \(f'\left(x\right)=4x^3+3mx^2+2mx+m=0\Leftrightarrow m\left(3x^2+2x+1\right)=-4x^3\)

                 \(\Leftrightarrow\frac{-4x^3}{3x^2+2x+1}\) 

Xét hàm số : \(g\left(x\right)=\frac{-4x^3}{3x^2+2x+1}\) có tập xác định : \(D_g=!\)

\(g'\left(x\right)=\frac{-4x^2\left(3x^2+2x+1\right)}{\left(3x^2+2x+1\right)^2}=\frac{-4x^2\left[2\left(x+1\right)^2+x^2+1\right]}{\left(3x^2+2x+1\right)^2}\le0\) với mọi \(x\in!\)

\(\lim\limits g\left(x\right)_{x\rightarrow\infty}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{-4x}{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\infty\)

Nghiệm của phương trình \(f'\left(x\right)=0\) cũng là giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị y = g(x)

Lập bảng biến thiên ta có đường thẳng y=m cắt y =g(x) tại đúng 1 điểm 

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\)

 có đúng 1 nghiệm

Vậy hàm số y=f(x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu

26 tháng 3 2016

\(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu :

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2-3.9>0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là \(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\), ta có điêu kiện cần là 

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Khi m=1 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x+5. Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là 

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiể là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\)=> m=1

Khi m=-3 suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2-11

=> m=-3 không thỏa mãn

Vậy m=1 thỏa mãn điều kiện đề bài

24 tháng 3 2016

\(\Leftrightarrow y'=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)

27 tháng 3 2016

Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x+m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m^2>0\Leftrightarrow\left|m\right|<\sqrt{3}\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :

\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-1\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m}{3}+m\)

Với \(\left|m\right|<\sqrt{3}\) thì phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)

Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) nên :

\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_1+\frac{m^2}{3}+m\)

\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_2+\frac{m^2}{3}+m\)

=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(d\right):y=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m^2}{3}+m\)

Các điểm cực trị \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\) đối xứng nhau qua \(\left(\Delta\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta\right)\) tại trung điểm I của AB (*)

Ta có \(x_1=\frac{x_1+x_2}{2}=1\) suy ra từ (*) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)\frac{1}{2}=-1\\\frac{2}{3}\left(m^2-3\right).1+\frac{m^2}{3}+m=\frac{1}{2}.1-\frac{5}{2}\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m\left(m+1\right)=0\end{cases}\)

                                                        \(\Leftrightarrow m=0\)

 

26 tháng 4 2016

Ta có: y'= x2 - 3x - m -1 + (2x - 3)( x - m) = 3x2 - (2m + 6)x + 2m-1

y'=0 ↔ 3x2 - (2m + 6)x + 2m-1 = 0        (1)

Để hàm số y= (x - m)( x2 - 3x - m - 1) có cực đại và cực tiểu thì phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt ↔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ↔ Δ' > 0 ↔ (m+3)2 - 3(2m-1) >0  ↔ m2 + 12 > 0   ( mọi m)

→ Hầm số luôn có cả cực đại và cực tiểu.

Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình (1)

Khi đó, theo định lý Vi-ét, nghiệm của phương trình (1) là:  x1 + x2 = ( 2m+6)/3    ; x1x2= (2m -1)/3

Theo bài ra, ta có: | x - xCT\(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\)

↔| x1 - x2\(\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) ↔ 9x1 - x2|\(\ge\) 52   ↔  9( x1 + x2)2 - 36x1x2 \(\ge\) 52

↔ m\(\ge\) 1

→ \(m\ge1\) hoặc \(m\le-1\)

26 tháng 4 2016

Hàm số xác định trên R

Ta có \(y'=3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-2\left(m+3\right)x+2m-1=0\left(1\right)\)

Hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn \(\left|x_{CD}-x_{CT}\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\Leftrightarrow\) phương trình (1) có 2 nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\ge\frac{\sqrt{52}}{3}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=m^2+7>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge\frac{52}{9}\end{cases}\)

Theo định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{2\left(m+3\right)}{3}\\x_1x_2=\frac{2m-1}{3}\end{cases}\)

Suy ra \(\left(\frac{2\left(m+3\right)}{3}\right)^2-4\frac{2m-1}{3}\ge\frac{52}{9}\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4\ge0\Leftrightarrow m\in\)(-\(\infty;-1\)\(\cup\) [\(1;+\infty\))

Vậy m\(\in\)(-\(\infty;-1\)\(\cup\) [\(1;+\infty\))

27 tháng 3 2016

\(y'=2x^2-6\left(m+1\right)x+9\)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu

\(\Delta'=9\left(m+1\right)^2=3.9>0\)

     \(=\left(m+1\right)^2-3>0\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-1-\sqrt{3}\right)\cup\left(-1+\sqrt{3};+\infty\right)\)

Ta có : \(y=\left(\frac{1}{3}x-\frac{m+1}{3}\right)\left(3x^2-6\left(m+1\right)x+9\right)-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Gọi tọa độ điểm cực đại và cực tiểu là \(\left(x_1;y_1\right)\) và  \(\left(x_2;y_2\right)\)

=> \(y_1=-2\left(m^2+2m-2\right)x_1+4m+1\)

   \(y_2=-2\left(m^2+2m-2\right)x_2+4m+1\)

Vậy đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2\left(m^2+2m-2\right)x+4m+1\)

Vì 2 điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\) ta có điều kiện cần là :

\(\left[-2\left(m^2+2m-2\right)\right]\frac{1}{2}=-1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-2=1\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-3\end{cases}\)

Theo định lí Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=3\end{cases}\)

Khi m =1 => phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là 

\(y=-2x+5\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là :

\(\begin{cases}\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{4}{2}=2\\\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{-2\left(x_1+x_2\right)+10}{2}=1\end{cases}\)

Tọa độ trung điểm cực đại và cực tiểu là (2;1) thuộc đường thẳng \(y=\frac{1}{2}x\Rightarrow m=1\) thỏa mãn

Khi m=-3 phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại và cực tiểu là y=-2x-11

(làm tương tự cách như trên)

 
2 tháng 9 2017

TXĐ: D = R

+ y’’ = 6x – 2m.

Giải bài 4 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Giải bài 4 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 là một điểm cực đại của hàm số.

Giải bài 4 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Giải bài 4 trang 18 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 là một điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.