Câu hỏi của kkkkk

Question

Chứng minh rằng:$n^n-n^2+n-1⋮\left(n-1\right)^2$ với $n\in Z;n>1$HELP ME!!!!!!!!!!!

zZz Cool Kid_new zZz · Accepted Answer

Với n=2 thì  $n^n-n^2+n-1=1;\left(n-1\right)^2=1\Rightarrow n^n-n^2+n-1⋮\left(n-1\right)^2$Với n>2 ta có:$A=n^n-n^2+n-1$$=n^2\left(n^{n-2}-1^{n-2}\right)+\left(n-1\right)$$=\left(n-1\right)\left(n^{n-3}+n^{n-4}\cdot1+....+1\right)n^2+\left(n-1\right)$$=\left(n-1\right)\left(n^{n-1}+n^{n-2}+....+n^2+1\right)$Xét  $B=n^{n-1}+n^{n-2}+....+n^2+1$ có  $n-1$ số hạng nên ta có thể viết lại như sau:$B=\left(n^{n-1}-1^{n-1}\right)+\left(n^{n-2}-1^{n-2}\right)+......+\left(1-1\right)+\left(n-1\right)$Dễ thấy mọi hạng tử của B đều chia hết cho n-1$\Rightarrow A=\left(n-1\right)B\Rightarrow A⋮\left(n-1\right)^2\left(đpcm\right)$Câu trả lời: Với n=2 thì  $n^n-n^2+n-1=1;\left(n-1\right)^2=1\Rightarrow n^n-n^2+n-1⋮\left(n-1\right)^2$Với n>2 ta có:$A=n^n-n^2+n-1$$=n^2\left(n^{n-2}-1^{n-2}\right)+\left(n-1\right)$$=\left(n-1\right)\left(n^{n-3}+n^{n-4}\cdot1+....+1\right)n^2+\left(n-1\right)$$=\left(n-1\right)\left(n^{n-1}+n^{n-2}+....+n^2+1\right)$Xét  $B=n^{n-1}+n^{n-2}+....+n^2+1$ có  $n-1$ số hạng nên ta có thể viết lại như sau:$B=\left(n^{n-1}-1^{n-1}\right)+\left(n^{n-2}-1^{n-2}\right)+......+\left(1-1\right)+\left(n-1\right)$Dễ thấy mọi hạng tử của B đều chia hết cho n-1$\Rightarrow A=\left(n-1\right)B\Rightarrow A⋮\left(n-1\right)^2\left(đpcm\right)$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP