KH
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
31 tháng 5 2020
a) Để \(\frac{15}{4x^2-12x+19}\le\frac{3}{2}\) thì \(15\cdot2\le3\cdot\left(4x^2-12x+19\right)\)
\(\Leftrightarrow30\le12x^2-36x+57\)
\(\Leftrightarrow30-12x^2+36x-57\le0\)
\(\Leftrightarrow-12x^2+36x-27\le0\)
\(\Leftrightarrow-12\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-12\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\le0\)(luôn đúng)
b) Để \(\frac{4x+3}{x^2+1}\le4\)
thì \(4x+3\le4\left(x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4x+3\le4x^2+4\)
\(\Leftrightarrow4x+3-4x^2-4\le0\)
\(\Leftrightarrow-4x^2+4x-1\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(4x^2-4x+1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(2x-1\right)^2\le0\)(luôn đúng)
XO
17 tháng 8 2021
Ta có : \(27xyz\le\left(x+y+z\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)^3-27xyz\ge0\)
<=> (x + y)3 + 3(x + y)z(x + y + z) + z3 - 27xyz \(\ge0\)
=> x3 + y3 + 3xy(x + y) + 3(x + y)z(x + y + z) + z3 - 27xyz \(\ge\)0
<=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)[xy + z(x + y + z)] - 27xyz \(\ge0\)
<=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz \(\ge0\)
mà x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)
Thật vậy x + y \(\ge2\sqrt{xy}\)
=> (x + y)2 \(\ge\)4xy
<=> x2 - 2xy + y2 \(\ge\) 0
<=> (x - y)2 \(\ge\)0 (đúng \(\forall x;y>0\))
Tương tự ta được y + z \(\ge2\sqrt{yz}\)
z + x \(\ge2\sqrt{xz}\)
Khi đó 3(x + y)(y + z)(z + x) \(\ge3.2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=24xyz\)(dấu "=" xảy ra khi x = y = z)
=> (x3 + y3 + z3) + 3(x + y)(y + z)(z + x) - 27xyz \(\ge0\)
<=> (x3 + y3 + z3) + 24xyz - 27xyz \(\ge0\)
<=> x3 + y3 + z3 - 3xyz \(\ge0\)
<=> (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2] \(\ge\)0 (đúng)
=> ĐPCM
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
5 tháng 7 2020
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
DH
9 tháng 4 2020
\(\frac{x+2}{x-1}\left(\frac{x^3}{2x+2}+1\right)-\frac{8x+7}{2x^2-2}Đkxđ:x\ne\pm1\)
\(=\frac{x+2}{x-1}.\frac{x^3+2x+2}{2\left(x+1\right)}-\frac{8x+7}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{x^4+2x^3+2x^2-2x-3}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{x^4-2x^2+2x^3-2x+3x^2-3}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{x^2\left(x^2-1\right)+2x\left(x^2-1\right)+3\left(x^2-1\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+2x+3\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)
\(=\frac{x^2+2x+3}{2}\)
Ta có: \(x^2+2x+3=x^2+2x+1+2\)
\(=\left(x+1\right)^2+2\ge2\forall x\)
Vậy giá trị của biểu thức luôn dương \(\forall x\ne\pm1\)
