Question

[Tạ Minh Khoa]

chứng minh rằng n^5-n chia hết cho 30 với mọi sồ nguyên

Answer 1

[Băng băng]

Tạ Minh Khoa            

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Answer 2

[𝐓𝐡𝐮𝐮 𝐓𝐡𝐮𝐲𝐲]

Tạ Minh Khoa

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).